Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 3

Es sei ${\displaystyle {}W=[0,1[^{n}}$ der halboffene Einheitswürfel im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Zeige, dass für jedes ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$ und das zugehörigeGittermaß ${\displaystyle {}\mu _{\frac {1}{k}}}$ die Beziehung

${\displaystyle {}\mu _{\frac {1}{k}}(W)=1\,}$

Wir betrachten die Menge${\displaystyle {}T=\mathbb {Q} \cap [0,1]}$,und zu jedem${\displaystyle {}\epsilon >0}$ das zugehörigeGittermaß${\displaystyle {}\mu _{\epsilon }}$. Zeige, dass

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\mu _{\frac {1}{k}}(T)}$

existiert, dass aber

${\displaystyle \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,\mu _{\epsilon }(T)}$

nicht existiert.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ einMaßraumund seien${\displaystyle {}T_{i}\subseteq M}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$,messbare Teilmengenmit${\displaystyle {}\mu (T_{i})<\infty }$.Für eine Teilmenge${\displaystyle {}J\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ sei

${\displaystyle {}T_{J}=\bigcap _{i\in J}T_{i}\,.}$

Beweise die Formel

${\displaystyle {}\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}\,.}$

Es sei

${\displaystyle f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

einestreng wachsende Funktion.Zu${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$betrachten wir dieäquidistante Unterteilungdes Einheitsintervalls in ${\displaystyle {}k}$ gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untereTreppenfunktion${\displaystyle {}s_{k}}$ von ${\displaystyle {}f}$ und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion ${\displaystyle {}t_{k}}$. Es seien${\displaystyle {}S_{k}}$ bzw. ${\displaystyle {}T_{k}}$die zugehörigenSubgraphen.

a) Zeige, dass im Allgemeinen ${\displaystyle {}S_{k}}$, ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$,keine Ausschöpfungund ${\displaystyle {}T_{k}}$, ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$,keine Schrumpfungist.

b) Zeige, dass${\displaystyle {}S_{2^{n}}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$,eine Ausschöpfung und ${\displaystyle {}T_{2^{n}}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$,eine Schrumpfung ist.

c) Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von ${\displaystyle {}f}$?

d) Wogegen konvergierendie zugehörigen Folgen vonTreppenintegrale?

Man zeige durch ein Beispiel, dass die „Schrumpfungsformel“ ausLemma 3.4 (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.

Wo geht in den Beweis zuSatz 3.7dieEndlichkeitder ${\displaystyle {}M_{n}}$ ein?

Zeige durch ein Beispiel, dassSatz 3.7ohne die Voraussetzung, dass es eine Ausschöpfung mit endlichem Maß gibt, nicht gilt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein topologischer Raumund${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ eine Überdeckung ausoffenen Mengen,wobei ${\displaystyle {}I}$ abzählbarsei. Zeige folgende Aussagen.

a) Eine Teilmenge${\displaystyle {}T\subseteq X}$ ist genau dann eineBorelmenge,wenn ${\displaystyle {}T\cap U_{i}}$ eine Borelmenge ist für jedes${\displaystyle {}i\in I}$.

b) Ein ${\displaystyle {}\sigma }$-endlichesMaß${\displaystyle {}\mu }$ ist durch die Einschränkungen${\displaystyle {}\mu _{i}=\mu {|}_{U_{i}}}$ eindeutig bestimmt.

c) Es sei für jedes${\displaystyle {}i\in I}$ ein ${\displaystyle {}\sigma }$-endliches Maß ${\displaystyle {}\mu _{i}}$ auf ${\displaystyle {}U_{i}}$ gegeben. Für jedes Paar${\displaystyle {}i,j\in I}$ sei

${\displaystyle {}\mu _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\mu _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,.}$

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes ${\displaystyle {}\sigma }$-endliches Maß auf ${\displaystyle {}X}$ mit${\displaystyle {}\mu {|}_{U_{i}}=\mu _{i}}$.

Es sei

${\displaystyle \beta \colon \mathbb {R} ^{k}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

eineBelegungsfunktionmit dem zugehörigen Summationsmaß ${\displaystyle {}\mu }$. Es sei

${\displaystyle {}T={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \beta (x)>0\right\}}\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\mu }$ genau dann${\displaystyle {}\sigma }$-endlichist, wenn ${\displaystyle {}T}$ abzählbarist.

Es sei

${\displaystyle \beta \colon \mathbb {R} ^{k}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}}$

eineBelegungsfunktionmit dem zugehörigen Summationsmaß ${\displaystyle {}\mu }$. Für jede konvergente Folge${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{k}}$ sei die Bedingung${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }\beta (x_{n})<\infty }$erfüllt. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mu }$${\displaystyle {}\sigma }$-endlichist.

Zeige, dass das Bildmaß eines Maßes unter einermessbaren Abbildung in der Tat ein Maß ist.

Es seien ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$, ${\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}})}$ und ${\displaystyle {}(S,{\mathcal {C}})}$Messräume und

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

${\displaystyle \psi \colon N\longrightarrow S}$

messbare Abbildungen. Es sei ${\displaystyle {}\mu }$ einMaß auf ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass für die Bildmaße die Beziehung

${\displaystyle {}(\psi \circ \varphi )_{*}\mu =\psi _{*}(\varphi _{*}\mu )\,}$

Es seien${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$Messräumeund es sei

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

einemessbare Abbildung.Es sei ${\displaystyle {}\delta _{x}}$ das im Punkt${\displaystyle {}x\in M}$ konzentrierteDirac-Maß.Zeige${\displaystyle {}\varphi _{*}(\delta _{x})=\delta _{\varphi (x)}}$.

Es seien${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$Messräumeund es sei

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

einemessbare Abbildung.Es sei

${\displaystyle \beta \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}}$

eineBelegungsfunktionmit dem zugehörigen Summationsmaß ${\displaystyle {}\mu }$. Zeige, dass dasBildmaß${\displaystyle {}\varphi _{*}\mu }$ ebenfalls ein Summationsmaß ist und bestimme die zugehörige Belegungsfunktion.

Es sei

${\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,y\geq 0\right\}}\,}$

der obere Einheitshalbkreis und

${\displaystyle p\colon M\longrightarrow [-1,1],\,(x,y)\longmapsto x,}$

die Projektion auf die ${\displaystyle {}x}$-Achse. Zu${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$seien ${\displaystyle {}n+1}$ Punkte auf ${\displaystyle {}M}$ gleichverteilt in dem Sinne, dass${\displaystyle {}(1,0)}$ und ${\displaystyle {}(-1,0)}$dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.

a) Skizziere die Situation für${\displaystyle {}n=7}$einschließlich der Bildpunkte unter ${\displaystyle {}p}$.

b) Es sei ${\displaystyle {}\mu _{n}}$ das Zählmaßauf ${\displaystyle {}M}$, bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert ${\displaystyle {}1}$ erhält und es sei

${\displaystyle {}\nu _{n}=p_{*}\mu _{n}\,}$

das zugehörigeBildmaßauf ${\displaystyle {}[-1,1]}$. Man gebe eine Formel für

${\displaystyle \nu _{n}([t,1])}$

(${\displaystyle {}t\in [-1,1]}$)mit Hilfe desArkuskosinusan.

c) Bestimme

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\nu _{n}([1-{\frac {2}{n}},1]).}$

Es seien${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$topologische Räume.Zeige, dass dieProdukttopologieauf ${\displaystyle {}X\times Y}$ die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beidenProjektionen${\displaystyle {}X\times Y\rightarrow X}$ und ${\displaystyle {}X\times Y\rightarrow Y}$stetigsind.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einHausdorff-Raum.Zeige, dass dieDiagonale

${\displaystyle {}\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,}$

eineabgeschlossene TeilmengeimProduktraum${\displaystyle {}X\times X}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}X,Y,Z}$topologische Räumeund

${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$

und

${\displaystyle g\colon X\longrightarrow Z}$

stetige Abbildungen.Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle (f,g)\colon X\longrightarrow Y\times Z,\,x\longmapsto (f(x),g(x)),}$

ebenfalls stetig ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Unter der diskreten Topologie auf ${\displaystyle {}M}$ versteht man diejenigeTopologie,bei der jede Teilmenge${\displaystyle {}T\subseteq M}$ offen ist.

Es seien${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$diskrete topologische Räume.Zeige, dass auch derProduktraum diskret ist.

Bestimme die Belegungsfunktion zumGittermaß zum Gitterabstand ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$.

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ ist eineRelation${\displaystyle {}R\subseteq M\times M}$,die die folgenden drei Eigenschaften besitzt(für beliebige${\displaystyle {}x,y,z\in M}$).

1. Es ist${\displaystyle {}x\sim x}$(reflexiv).
2. Aus${\displaystyle {}x\sim y}$folgt${\displaystyle {}y\sim x}$(symmetrisch).
3. Aus${\displaystyle {}x\sim y}$und${\displaystyle {}y\sim z}$folgt${\displaystyle {}x\sim z}$(transitiv).

Dabei bedeutet${\displaystyle {}x\sim y}$,dass das Paar ${\displaystyle {}(x,y)}$ zu ${\displaystyle {}R}$ gehört.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum, ${\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}})}$ einMessraum und ${\displaystyle {}C}$ die Menge der messbaren Abbildungen von${\displaystyle {}M}$ nach ${\displaystyle {}N}$.Für${\displaystyle {}f,g\in C}$

${\displaystyle f\sim g,{\text{ falls }}\mu ({\left\{x\in M\mid f(x)\neq g(x)\right\}})=0}$

(dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien).Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eineÄquivalenzrelationist.

Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe${\displaystyle {}S={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}}$.Zeige, dass

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,\mu _{\epsilon }(S)=\pi \,,}$

wobei ${\displaystyle {}\mu _{\epsilon }}$ dasGittermaß zu${\displaystyle {}\epsilon >0}$bezeichnet.

Man gebe ein Beispiel für einen${\displaystyle {}\sigma }$-endlichen Maßraum${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ und eine messbare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

in einen Messraum${\displaystyle {}N}$ derart, dass dasBildmaß${\displaystyle {}\varphi _{*}\mu }$ nicht ${\displaystyle {}\sigma }$-endlich ist.

Es seien${\displaystyle {}(M_{1},d_{1})}$ und ${\displaystyle {}(M_{2},d_{2})}$metrische Räume.Zeige, dass auf derProduktmenge${\displaystyle {}M_{1}\times M_{2}}$ durch

${\displaystyle {}d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\sqrt {d_{1}(x_{1},y_{1})^{2}+d_{2}(x_{2},y_{2})^{2}}}\,}$

eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologiemit derProdukttopologieübereinstimmt.