Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 9

Es seien${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ Mengen und es seien

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

${\displaystyle f\colon N\longrightarrow \mathbb {R} }$

Abbildungen. Zeige, dass für dieSubgraphen die Beziehung

${\displaystyle {}(\varphi \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} })^{-1}(S(f))=S(f\circ \varphi )\,}$

gilt.

Zeige, dass das Integral der Nullfunktion gleich ${\displaystyle {}0}$ ist.

Zeige, dass das Integraleiner messbaren Funktionüber einerNullmengegleich ${\displaystyle {}0}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlicherMaßraum,

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$

eine messbare Funktionund${\displaystyle {}c\in {\overline {\mathbb {R} }}}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}{\left\{(x,c)\mid f(x)=c\right\}}\subseteq M\times {\overline {\mathbb {R} }}\,}$

eine Nullmenge ist.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlicherMaßraum, sei ${\displaystyle {}f}$ eineintegrierbarenichtnegativenumerische Funktionen auf ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$. Zeige, dass auch ${\displaystyle {}af}$ integrierbar ist und dass

${\displaystyle {}\int _{M}af\,d\mu =a\cdot \int _{M}f\,d\mu \,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine abzählbare Menge,die mit dem Zählmaßversehen sei, und sei

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

eineFunktion.Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ genau dannintegrierbarist, wenn die Familie${\displaystyle {}f(m)}$, ${\displaystyle {}m\in M}$,summierbarist, und dass in diesem Fall das Integralgleich derSummeist.

Bestimme denFlächeninhaltdesSubgraphenzur linearen Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto cx,}$

über dem Intervall ${\displaystyle {}[a,b]}$ mit ${\displaystyle {}c\geq 0,\,b\geq a\geq 0}$.

Bestimme denFlächeninhaltdesSubgraphenzur Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1+\sin x,}$

über dem Intervall ${\displaystyle {}[0,2\pi ]}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und es sei ${\displaystyle {}T_{n}\uparrow M}$ eine Ausschöpfung von ${\displaystyle {}M}$ mit Teilmengen${\displaystyle {}T_{n}\subseteq M}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.Zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ sei ${\displaystyle {}A_{n}\subseteq M\times \mathbb {R} }$ der Subgraph zur Indikatorfunktion ${\displaystyle {}e_{T_{n}}}$. Zeige, dass die${\displaystyle {}A_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$,eine Ausschöpfung von ${\displaystyle {}M\times [0,1]}$ bilden.

Es seien${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ und ${\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}},\nu )}$zweiendliche Maßräume und es sei

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$

integrierbare Funktion.Zeige

${\displaystyle {}\int _{M\times N}fd\mu \otimes \nu =\nu (N)\cdot \int _{M}f(x)d\mu (x)\,.}$

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.}$

Für welches${\displaystyle {}a\in [0,1]}$ ist dieTschebyschow-Abschätzungfür diese Funktion am besten?

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

eineintegrierbare Funktion.Zeige, dass es zu jedem${\displaystyle {}\epsilon >0}$ein${\displaystyle {}r\in \mathbb {R} _{+}}$derart gibt, dass

${\displaystyle {}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon \,}$

ist

Es sei

${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

einelineare Abbildung,${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$einemessbare Teilmengeund${\displaystyle {}N=L(M)}$.Es sei

${\displaystyle N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$

einemessbare Funktion.Zeige

${\displaystyle {}\int _{M}{\left(f\circ \varphi \right)}d\lambda ^{n}=\int _{N}f{\left(\det L\right)}^{-1}d\lambda ^{n}\,.}$

Es sei${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ einekompakte Teilmengeund sei

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} }$

einestetige Funktion.Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ integrierbarist. Man gebe auch eine Abschätzung für das Integral ${\displaystyle {}\int _{T}f\,d\lambda ^{n}}$ an.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlicherMaßraum. Zeige, dass für jedes${\displaystyle {}r\in \mathbb {R} }$ die Abbildung

${\displaystyle M\times \mathbb {R} \longrightarrow M\times \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto (x,t+r),}$

maßtreu ist.

Bestimme dasVolumendesSubgraphenzurlinearen Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto cx+dy,}$

(mit${\displaystyle {}c,d\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$)über dem Einheitsquadrat ${\displaystyle {}[0,1]\times [0,1]}$.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \sin t.}$

Für welches${\displaystyle {}a\in [0,1]}$ ist dieTschebyschow-Abschätzungfür diese Funktion am besten? Bestimme ${\displaystyle {}a}$ numerisch bis auf ${\displaystyle {}5}$ Nachkommastellen.