Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 10

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein Messraummit einer Ausschöpfung${\displaystyle {}M_{n}\uparrow M}$ und sei

${\displaystyle f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

einewachsendeFolgevon nichtnegativenmessbaren Funktionenmit der Grenzfunktion

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}S^{o}(M_{n};f_{n})}$ eine Ausschöpfung von ${\displaystyle {}S^{o}(M;f)}$ ist.

Wir betrachten dieFunktionenfolge

${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

mit ${\displaystyle {}f_{n}=1-{\frac {1}{n}}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$).Es sei ${\displaystyle {}f}$ dieGrenzfunktion.Zeige die Beziehung

${\displaystyle {}\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}S(f_{n})=S(f)\setminus \Gamma _{f}\,.}$

Es seien${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ und ${\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}},\nu )}$zweiendliche Maßräume und es seien

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$

und

${\displaystyle g\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$

integrierbare Funktionen.Zeige

${\displaystyle {}\int _{M\times N}(f+g)d\mu \otimes \nu =\nu (N)\cdot \int _{M}f(x)d\mu (x)+\mu (M)\cdot \int _{N}g(y)d\nu (y)\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eineFolgein ${\displaystyle {}{\overline {\mathbb {R} }}}$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert,wenn

${\displaystyle {}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine beschränkte reelle Folge,

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

einestetige Abbildungund ${\displaystyle {}y_{n}=f(x_{n})}$ die Bildfolge. Es sei ${\displaystyle {}H}$ die Menge der Häufungspunkte von ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle {}G}$ die Menge der Häufungspunkte von ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$.

a) Zeige ${\displaystyle {}f(H)\subseteq G}$.

b) Zeige

${\displaystyle {}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.}$

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.

Es sei ${\displaystyle {}f_{n}:[1,+\infty [\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$, für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} _{+}}$, die Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n^{2}}},{\text{ falls }}x\in [n,+\infty [\,,\\0,{\text{ anderfalls }}.\end{cases}}}$

Berechnen Sie

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}{\text{ und }}\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{[1,+\infty ]}f_{n}d\lambda ^{1}.}$

Es sei ${\displaystyle {}f_{n}:[0,+\infty [\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$, für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} _{+}}$, die Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\mathrm {exp} (-nx)}{x+n}}.}$

Berechnen Sie

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}{\text{ und }}\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{[0,+\infty ]}f_{n}d\lambda ^{1}.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eineFolge in ${\displaystyle {}{\overline {\mathbb {R} }}}$ und sei

${\displaystyle y_{n}:=\inf {\left(x_{k},\,k\geq n\right)}.}$

a) Zeige, dass die Folge ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$wachsendist.

b) Zeige, dass die Folge ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle {}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}}$ punktweise konvergiert.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ einMessraum und sei

${\displaystyle f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$

eineFolgevonmessbaren Funktionen.Zeige, dass dann auch die Funktionen

${\displaystyle \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)},}$

und

${\displaystyle \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)},}$

messbarsind.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlicherMaßraum und sei

${\displaystyle f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$

(${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) eineFolge von nichtnegativenmessbaren numerischen Funktionen. Zeige, dass

${\displaystyle {}\int _{M}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\,d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,}$

gilt.

Berechnen Sie

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }\int _{0}^{\pi /2}{\big (}1-{\sqrt {\mathrm {sin} x}}{\big )}^{n}\mathrm {cos} x\mathrm {d} x.}$

Unter einer Quader-Treppenfunktion verstehen wir eine Abbildung

${\displaystyle t\colon [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle a_{1}=c_{10}<c_{11}<\ldots <c_{1n_{1}}=b_{1},\ldots ,a_{d}=c_{d0}<c_{d1}<\ldots <c_{dn_{d}}=b_{d},}$

derart gibt, dass

${\displaystyle t{|}_{[c_{1j_{1}},c_{1\,j_{1}+1}]\times \cdots \times }[c_{dj_{d}},c_{d\,j_{d}+1}]}$

konstant ist. Das zugehörige Integral nennen wir Treppenintegral.

Es sei

${\displaystyle f\colon [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige Funktion.Zeige, dass das Supremum der Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen von ${\displaystyle {}f}$ gleich dem Infimum der Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen von ${\displaystyle {}f}$ ist, und somit auch gleich dem Lebesgue-Integral.

Man gebe ein Beispiel einer integrierbaren Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,}$

für die das Integral nicht das Supremumüber alle Treppenintegralezuunteren Treppenfunktionenist.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon [0,1]\longrightarrow [0,1],\,x\longmapsto x^{2}.}$

Berechne für ${\displaystyle {}n=1,2,\ldots ,5}$ dasSupremumder Integrale zu den folgendeneinfachen Funktionen.

a) Die Funktionen ${\displaystyle {}g\leq f}$, die auf den ${\displaystyle {}n}$ Teilintervallen ${\displaystyle {}[{\frac {k}{n}},{\frac {k+1}{n}}[}$(mit ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$)konstant sind.

b) Die Funktionen ${\displaystyle {}h\leq f}$, die nur die Werte ${\displaystyle {}{\frac {k}{n}}}$ annehmen.

Bestimme für die Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f_{n}(x)=x^{n},}$

die zugehörigen Integrale,den Grenzwertder Integrale, dieGrenzfunktionund das Integral der Grenzfunktion.

Bestimme die Häufungspunkte der Folge ${\displaystyle {}x_{n}=\sin \left(n{\frac {\pi }{4}}\right)}$. Was ist derLimes inferior,was der Limes superior?

Bestimme denLimes inferiorund denLimes superiorderFunktionenfolge${\displaystyle {}f_{n}(x)=\sin(nx)}$auf ${\displaystyle {}[0,\pi ]}$.

Zeige, dassder Satz von der majorisierten Konvergenzohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante${\displaystyle {}h\geq \vert {f_{n}}\vert }$nicht gilt.

Es sei ${\displaystyle {}]a,b[}$ ein (eventuell unbeschränktes)Intervall und es sei

${\displaystyle f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine nichtnegativestetige Funktion.Zeige, dass das uneigentliche Integral${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(t)dt}$ gleich dem Lebesgue-Integral${\displaystyle {}\int _{]a,b[}f\,d\lambda }$ (also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen)ist.