Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 11

Es sei

${\displaystyle {}f(x,y)=x^{3}-yx^{2}+7\sin y\,.}$

Berechne die Integrale zum Parameter ${\displaystyle {}y\in [0,\pi ]}$ über ${\displaystyle {}x\in [0,1]}$ und zum Parameter ${\displaystyle {}x\in [0,1]}$ über ${\displaystyle {}y\in [0,\pi ]}$. Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

Es sei

${\displaystyle f\colon {]0,1]}\longrightarrow [0,\infty [}$

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

${\displaystyle f^{-1}\colon {[0,\infty [}\longrightarrow {]0,1]}.}$

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${\displaystyle {}\int _{0}^{1}f(t)\,dt}$ existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral ${\displaystyle {}\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy}$ existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

Es sei

${\displaystyle {}E={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,,}$

(mit der von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ induzierten Metrik)und es seien(${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$)

${\displaystyle g,f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

messbare Funktionenauf einem ${\displaystyle {}\sigma }$-endlichen Maßraum${\displaystyle {}M}$. Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon E\times M\longrightarrow \mathbb {R} }$

mit

${\displaystyle {}f({\frac {1}{n}},x)=f_{n}(x)\,}$

und

${\displaystyle {}f(0,x)=g(x)\,.}$

Diskutiereden Satz von der majorisierten KonvergenzundSatz 11.1in dieser Situation.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ einendlicherMaßraumund${\displaystyle {}A_{t}}$, ${\displaystyle {}t\in \mathbb {R} }$,eine Familie von messbaren Mengenmit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${\displaystyle {}e_{A_{t}}}$. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).}$

Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),}$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen ausSatz 11.1sind erfüllt, welche nicht?

Beweise Satz 58.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)),Satz 58.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))undKorollar 58.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))ausSatz 11.1,Satz 11.2undKorollar 11.3.

Formuliere Satz 11.1,Satz 11.2undKorollar 11.3für die Situation, wo der Maßraum ${\displaystyle {}M}$ die natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ mit demZählmaßsind.

Es seien${\displaystyle {}h\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$und${\displaystyle {}g\colon [c,d]\rightarrow \mathbb {R} }$differenzierbare Funktionen. BestätigeSatz 11.2für

a) ${\displaystyle {}f(x,y)=g(x)+h(y)}$,

b) ${\displaystyle {}f(x,y)=g(x)\cdot h(y)}$.

Zeige, dass die dritte Bedingung inKorollar 11.3äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen

${\displaystyle h_{i}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

mit

${\displaystyle {}\Vert {{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)}\Vert \leq h_{i}(x)\,}$

ist.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

definiert durch

${\displaystyle {}f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{t^{4}+x^{2}t^{2}+1}}dt\,.}$

Untersuchen Sie ${\displaystyle {}f}$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Falls ${\displaystyle {}f}$ differenzierbar ist, was ist die Ableitung?

Wir interpretieren einePotenzreihe${\displaystyle {}\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}z^{n}}$ als eine Funktion auf ${\displaystyle {}U{\left(0,r\right)}\times \mathbb {N} }$, wobei der offene Ball ${\displaystyle {}E=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }}$ mit der induzierten Metrik und ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ mit dem Zählmaßversehen sei. Welche Eigenschaften vonSatz 11.1und von(einer komplexen Version von)Satz 11.2sind(in Abhängigkeit von ${\displaystyle {}r}$)erfüllt? Wie kann man darausKorollar 16.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))undSatz 20.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))erhalten?

Begründe dieAdditivität des Integralsmit Hilfe vonSatz 11.5.

Diskutiere den Wikipediaartikel „Prinzip von Cavalieri“, insbesondere in Hinblick auf die Formulierung:

„Aus dem Prinzip von Cavalieri lässt sich herleiten, dass das Volumen eines 'höhengedehnten' Körpers (bei gleichbleibender Grundfläche) proportional zu seiner Höhe ist. Als Beispiel: Ein Körper, dessen Höhe auf diese Weise verdoppelt wird, kann durch 2 gleiche Ausgangskörper konstruiert werden, indem zuerst alle äquivalenten Schnittflächen zusammengelegt werden und diese in der entsprechenden Reihenfolge des Ausgangskörpers aufgeschichtet werden (beide Ausgangskörper werden quasi ineinandergeschoben)“. (Version vom 16. November 2015).

Bestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks mitdem Cavalieri-Prinzip.

Die rechteckige Grundseite (Unterseite)eines Bootes(unter Wasser)habe die Breite ${\displaystyle {}2{\rm {m}}}$ und die Länge ${\displaystyle {}10{\rm {m}}}$, die (ebenfalls rechteckige)Deckseite (Oberseite) habe die Breite ${\displaystyle {}3{\rm {m}}}$ und die Länge ${\displaystyle {}12{\rm {m}}}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand ${\displaystyle {}2{\rm {m}}}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung ${\displaystyle {}12.000{\rm {kg}}}$. Der Tiefgang des Bootes soll maximal${\displaystyle {}1,5{\rm {m}}}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

Es sei ${\displaystyle {}Z}$ der Zylinder um die ${\displaystyle {}x}$-Achse und ${\displaystyle {}W}$ der Zylinder um die ${\displaystyle {}z}$-Achse, beide zum Radius ${\displaystyle {}1}$. Bestimme das Volumen des Durchschnitts ${\displaystyle {}Z\cap W}$.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlicher Maßraumund

${\displaystyle h_{1},h_{2}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

messbare Funktionen.Zeige

${\displaystyle {}\int _{M}h_{1}h_{2}d\mu =\int _{S(h_{1})}h_{2}d\mu \otimes \lambda ^{1}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}h_{2}}$ in natürlicher Weise als Funktion auf dem Subgraphen${\displaystyle {}S(h_{1})}$ zu ${\displaystyle {}h_{1}}$ aufgefasst wird.

Es sei${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$eine messbare Teilmengeund es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-1}}$

eine surjektive lineare Abbildungderart, dass für alle${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} ^{n-1}}$die Menge ${\displaystyle {}T\cap \varphi ^{-1}(x)}$ abzählbarsei. Zeige

${\displaystyle {}\lambda ^{n}(T)=0\,.}$

Es seien${\displaystyle {}[a,b]}$ und ${\displaystyle {}[c,d]}$kompakte Intervalleund es sei

${\displaystyle f\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y),}$

einestetige Funktion.Zeige mit Hilfe vonSatz 11.1,dass auch die Funktion

${\displaystyle [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{c}^{d}f(x,y)\,dy,}$

stetig ist.

Zeige, dass dieFakultätsfunktion ${\displaystyle {}\operatorname {Fak} \,(x)}$ beliebig oftdifferenzierbarist mit den Ableitungen

${\displaystyle {}\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{\infty }(\ln t)^{n}t^{x}e^{-t}\,dt\,.}$

Berechne das Volumen desKegels, dessen Spitze in ${\displaystyle {}(2,3,5)}$ liegt und dessen Grundfläche die durch

${\displaystyle {\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+2y^{2}\leq 4\right\}}}$

gegebene Ellipse ist.

Es sei${\displaystyle {}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{2}}$das Bildmaßunter der Multiplikation

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.}$

Zeige, dass für jedeBorelmenge${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}\mu (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\lambda ^{1}(T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\lambda ^{1}(T)>0\,,\end{cases}}\,}$

gilt.

Es sei${\displaystyle {}F\neq 0}$ein Polynom in ${\displaystyle {}n}$ Variablen über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ und es sei

${\displaystyle {}T={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid F(x)=0\right\}}\,}$

die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige

${\displaystyle {}\lambda ^{n}(T)=0\,.}$