Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 8

Wir definieren auf ${\displaystyle {}{\overline {\mathbb {R} }}}$ eine Topologie,indem wir die Mengen

${\displaystyle ]a,b[\,\,({\text{mit }}a,b\in \mathbb {R} ),\,[-\infty ,a[\,\,({\text{mit }}a\in \mathbb {R} ){\text{ und }}]a,\infty ]\,\,({\text{mit }}a\in \mathbb {R} )}$

alsBasis der Topologienehmen. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$offenin dieser Topologie ist und dieUnterraumtopologiezu dieser Topologie trägt.

Zeige, dass dieBorelmengen auf ${\displaystyle {}{\overline {\mathbb {R} }}}$ zu der inAufgabe 8.1eingeführten Topologie mit den inder Vorlesungdirekt eingeführten Borel-Mengen übereinstimmen.

Zeige, dass ${\displaystyle {}{\overline {\mathbb {R} }}}$ mit der inAufgabe 8.1eingeführten Topologie homöomorphzum abgeschlossenen Intervall ${\displaystyle {}[0,1]}$ ist.

Zeige, dass man die übliche Metrik auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nicht zu einer Metrik auf ${\displaystyle {}{\overline {\mathbb {R} }}}$ fortsetzen kann.

Es sei

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$

eine numerische Funktion.Zeige

${\displaystyle {}\vert {f}\vert =f_{+}+f_{-}\,.}$

Bestimme das Supremum und das Infimum der Funktionenfolge

${\displaystyle {}f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}x^{k}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einMessraumund${\displaystyle {}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

${\displaystyle {\sqrt {f}}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {f(x)}},}$

messbar ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein Messraumund es sei

${\displaystyle f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R} }$

(${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$)eine Folge vonmessbaren Funktionen,wobei ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ die${\displaystyle {}\sigma }$-AlgebraderBorelmengenträgt. Es sei${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$.Zeige, dass die Menge

${\displaystyle {}M={\left\{x\in X\mid a{\text{ ist ein H}}{\ddot {\rm {a}}}{\text{ufungspunkt der Folge }}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right\}}\,}$

einemessbare Teilmengevon ${\displaystyle {}X}$ ist.

Beschreibe eine beliebigeeinfache Funktion mit Hilfe von Indikatorfunktionen.

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zweieinfachen Funktionenauf einemMessraumwieder einfach ist.

Es sei ${\displaystyle {}[a,b]}$ ein reelles Intervall und sei

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

einwachsendeFunktion. Zeige, dass die approximierenden einfachen FunktionenausLemma 8.11Treppenfunktionensind.

Es sei ${\displaystyle {}[a,b]}$ ein reelles Intervall und sei

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

einstetigeFunktion. Zeige, dass die approximierenden einfachen FunktionenausLemma 8.11im Allgemeinen keineTreppenfunktionensind.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ einMessraum und es seien

${\displaystyle f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

messbare Funktionen. Zeige, dass die Menge

${\displaystyle {\left\{x\in M\mid f(x)=g(x)\right\}}}$

messbar ist.

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei${\displaystyle {}\sigma }$-einfachen Funktionenauf einemMessraumwieder ${\displaystyle {}\sigma }$-einfach ist.

Eine Funktion${\displaystyle {}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ heißt periodisch mit Periode${\displaystyle {}L>0}$,wenn für alle${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$die Gleichheit

${\displaystyle {}f(x)=f(x+L)\,}$

gilt.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eineperiodische Funktionmit der Periode ${\displaystyle {}L>0}$.

a) Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}f}$ istmessbar.
2. DieEinschränkungvon ${\displaystyle {}f}$ auf das Intervall ${\displaystyle {}[0,L[}$ istmessbar.
3. DieEinschränkungvon ${\displaystyle {}f}$ auf jedes Intervall der Form ${\displaystyle {}[a,a+L[}$ istmessbar.

b) Zeige, dass diese Äquivalenz für die Stetigkeitnicht gelten muss.

Bestimme die approximierenden Funktionen ${\displaystyle {}f_{0},f_{1},\ldots ,f_{5}}$ für die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},}$

gemäß dem Beweis zuLemma 8.11.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eineFunktion.Zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ sei die Funktion ${\displaystyle {}f_{n}}$ durch

${\displaystyle {}f_{n}(x)={\frac {\left\lfloor nf(x)\right\rfloor }{n}}\,}$

definiert.

a) Zeige, dass die ${\displaystyle {}f_{n}}$ ${\displaystyle {}\sigma }$-einfachsind.

b) Zeige, dass dieFunktionenfolge${\displaystyle {}f_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$,punktweise gegen ${\displaystyle {}f}$ konvergiert.

c) Zeige, dass diese Funktionenfolge nicht wachsendsein muss.

d) Sind die ${\displaystyle {}f_{n}}$ messbar?