Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 21

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-VektorraummitSkalarproduktund${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein Untervektorraum.Dann heißt

${\displaystyle {}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,}$

das orthogonale Komplement von ${\displaystyle {}U}$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraummit einemSkalarprodukt.Eine Basis${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,von ${\displaystyle {}V}$ heißt Orthogonalbasis, wenn

${\displaystyle \left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ einVektorraumüber ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ mit einemSkalarprodukt${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ und sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ einUntervektorraum.Zeige, dass dasorthogonale Komplementebenfalls ein Untervektorraum von ${\displaystyle {}V}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ einVektorraumüber ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ mit einemSkalarprodukt${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ und sei${\displaystyle {}U\subseteq V}$einUntervektorraum.Es sei${\displaystyle {}u_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,einErzeugendensystemvon ${\displaystyle {}U}$. Zeige, dass ein Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ genau dann zumorthogonalen Komplement${\displaystyle {}U^{\perp }}$ gehört, wenn

${\displaystyle {}\left\langle v,u_{i}\right\rangle =0\,}$

für alle${\displaystyle {}i\in I}$ist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ einVektorraumüber ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ mit einemSkalarprodukt${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ und sei${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,eineOrthogonalbasisvon ${\displaystyle {}V}$. Zu jeder Teilmenge${\displaystyle {}J\subseteq I}$sei der von${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in J}$,erzeugte Untervektorraummit ${\displaystyle {}U_{J}}$ bezeichnet. Zeige, dass dasorthogonale Komplementvon ${\displaystyle {}U_{J}}$ gleich ${\displaystyle {}U_{I\setminus J}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-VektorraummitSkalarproduktund seien ${\displaystyle {}U_{1},U_{2}\subseteq V}$Untervektorräume.Zeige, dass für dieorthogonalen Komplementedie Gleichheit

${\displaystyle {}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }=U_{1}^{\perp }+U_{2}^{\perp }\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraummit einemSkalarprodukt${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen${\displaystyle {}U\subseteq U'\subseteq V}$ ist

   ${\displaystyle {}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.}$

2. Es ist${\displaystyle {}0^{\perp }=V}$und${\displaystyle {}V^{\perp }=0}$.
3. Es sei ${\displaystyle {}V}$ endlichdimensional.Dann ist

   ${\displaystyle {}{\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.}$

4. Es sei ${\displaystyle {}V}$ endlichdimensional. Dann ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {dim} _{}\left(U^{\perp }\right)=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)-\operatorname {dim} _{}\left(U\right)\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraummit einemSkalarprodukt.Zeige, dass zu einem fixierten Vektor${\displaystyle {}w\in V}$die Abbildung

${\displaystyle V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

stetigist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraummit einemSkalarprodukt.Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

stetigist, wenn ${\displaystyle {}V\times V}$ dieProdukttopologieträgt.

Zeige, dass ein${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Vektorraummit einemSkalarproduktgenau dann einHilbertraumist, wenn er als reeller Vektorraum ein Hilbertraum ist.

Zeige, dass einUntervektorraum${\displaystyle {}U\subseteq V}$eines${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Hilbertraumes${\displaystyle {}V}$ genau dann ein Hilbertraum ist, wenn erabgeschlossenin ${\displaystyle {}V}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-VektorraummitSkalarproduktund sei${\displaystyle {}U\subseteq V}$einUntervektorraum.Zeige, dass dasorthogonale Komplement${\displaystyle {}U^{\perp }}$ einabgeschlossenerUntervektorraum ist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-VektorraummitSkalarproduktund sei${\displaystyle {}U\subseteq V}$einabgeschlossenerUntervektorraum.Zeige

${\displaystyle {}{\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Hilbertraumund sei ${\displaystyle {}V'}$ derstetige Dualraumvon ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die natürliche lineare Abbildung

${\displaystyle V\longrightarrow V',\,w\longmapsto {\left(v\mapsto \left\langle v,w\right\rangle \right)},}$

eineisometrischeIsomorphievon Hilberträumen ist.

Es sei ${\displaystyle {}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlicherMaßraumund sei ${\displaystyle {}L^{2}(X)}$ der zugehörige Vektorraum derquadratintegrierbaren Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$. Es sei${\displaystyle {}T\subseteq X}$einemessbareTeilmenge. Zeige, dass

${\displaystyle {}L^{2}(T)\subseteq L^{2}(X)\,}$

einabgeschlossenerUntervektorraumist und beschreibe dieorthogonale Projektion

${\displaystyle L^{2}(X)\longrightarrow L^{2}(T).}$

Wie kann man ${\displaystyle {}{\left(L^{2}(T)\right)}^{\perp }}$ beschreiben?

Es sei ${\displaystyle {}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlicherMaßraumund sei ${\displaystyle {}L^{2}(X)}$ der zugehörige Vektorraum derquadratintegrierbaren Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$. Es sei${\displaystyle {}T\subseteq X}$einemessbareTeilmenge mit${\displaystyle {}\mu (T)<\infty }$.

1. Zeige, dass

   ${\displaystyle \varphi _{T}\colon L^{2}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto \int _{T}fd\mu ,}$

   einestetigeLinearformist.

2. Man gebe explizit ein${\displaystyle {}g\in L^{2}(X)}$an, dass ${\displaystyle {}\varphi _{T}}$ im Sinne vonKorollar 21.15beschreibt.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraummit Skalarproduktund es seien

${\displaystyle {}U\subseteq W\subseteq V\,}$

vollständigeUntervektorräume.Es bezeichne ${\displaystyle {}p_{U}^{V}}$ dieorthogonale Projektionvon ${\displaystyle {}U}$ auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige

${\displaystyle {}p_{U}^{V}=p_{U}^{W}\circ p_{W}^{V}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlicherMaßraumund sei ${\displaystyle {}L^{2}(X)}$ der zugehörige Vektorraum derquadratintegrierbaren Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$. Es seien${\displaystyle {}T_{1},T_{2}\subseteq X}$messbareTeilmengen mit${\displaystyle {}\mu (T_{1}),\mu (T_{2})<\infty }$mit den zugehörigen Indikatorfunktionen${\displaystyle {}e_{T_{1}}}$ bzw. ${\displaystyle {}e_{T_{2}}}$.Zeige, dass diese Funktionen genau dann orthogonalzueinander sind, wenn${\displaystyle {}\mu (T_{1}\cap T_{2})=0}$ist.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ mit dem Zählmaßversehen und sei ${\displaystyle {}T}$ die Menge der Standardvektoren${\displaystyle {}e_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$,in ${\displaystyle {}L^{2}(\mathbb {N} )}$. BeweiseLemma 21.16in diesem Fall direkt.