Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 22

Bestimme die optimale Approximation für den Datensatz${\displaystyle {}f(0)=0}$,${\displaystyle {}f(1)=2}$,${\displaystyle {}f(2)=2}$,durch eine konstante Funktion bezüglich der folgenden Normen des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$.

1. Summennorm,
2. euklidische Norm(${\displaystyle {}L^{2}}$-Norm),
3. Maximumsnorm,
4. ${\displaystyle {}L^{p}}$-Normfür${\displaystyle {}p\geq 1}$.

Es sei ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}}$ verschiedene reelle Zahlen und seien ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{n}}$ reelle Zahlen. Bestimme die optimale Approximation für den Datensatz${\displaystyle {}f(x_{i})=y_{i}}$durch eine konstante Funktion bezüglich der folgenden Normen des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$.

1. Summennorm,
2. euklidische Norm(${\displaystyle {}L^{2}}$-Norm),
3. Maximumsnorm,
4. ${\displaystyle {}L^{p}}$-Normfür${\displaystyle {}p\geq 1}$.

Wann gibt es eine „geschlossene Formel“, wann nicht? Wie sieht es bei${\displaystyle {}n=1,2,3}$aus?

Bestimme inBeispiel 22.4die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Summe der kleinsten Quadrate mitLemma 22.2unter Verwendung einer Orthonormalbasisvon ${\displaystyle {}U}$.

BeweiseSatz 22.5analytisch.

Bestimme inBeispiel 22.4die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Summennorm.

Bestimme inBeispiel 22.4die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Maximumsnorm.

Es seien ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}}$ verschiedene reelle Zahlen,${\displaystyle {}n\geq 2}$, und ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{n}}$ reelle Zahlen. Bestimme analytisch die optimale affin-lineare Approximation ${\displaystyle {}ax+b}$ für den Datensatz${\displaystyle {}f(x_{i})=y_{i}}$bezüglich der${\displaystyle {}p}$-Normim ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ für ${\displaystyle {}p}$ eine positive gerade Zahl.

Es seien ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}}$ verschiedene reelle Zahlen,${\displaystyle {}n\geq 2}$, und ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{n}}$ reelle Zahlen. Es sei${\displaystyle {}{\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}}$und${\displaystyle {}{\bar {y}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}({\bar {x}},{\bar {y}})}$ auf der optimalen linearen Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für den Datensatz liegt.

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten ${\displaystyle {}(2,8),\,(5,14),\,(7,20)}$.

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten ${\displaystyle {}(x_{1},0),\ldots ,(x_{i-1},0),(x_{i},1),(x_{i+1},0),\ldots ,(x_{n},0)}$.

Für die Bewegung eines Teilchens in der Ebene liegen zu verschieden Zeitpunkten die gemessenen Ortspunkte gemäß der Tabelle

${\displaystyle {}t}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}2}$
${\displaystyle {}P(t)}$	${\displaystyle {}(5,1)}$	${\displaystyle {}(5,2)}$	${\displaystyle {}(4,3)}$

vor. Aus theoretischen Gründen ist klar, dass es sich um eine Kreisbewegung um den Nullpunkt mit konstanter Geschwindigkeit handeln müsste, die sich zum Zeitpunkt ${\displaystyle {}0}$ auf der ${\displaystyle {}x}$-Achse befinden müsste. Die Bewegung sollte also von der Form

${\displaystyle {}g(t)=\left(a\cos \left(ct\right),\,a\sin \left(ct\right)\right)\,}$

sein. Bestimme ${\displaystyle {}(a,c)}$ derart, dass die zugehörige Kreisbewegung mit den Messdaten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal übereinstimmt.

Es sei${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,einOrthonormalsystemin einem${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Hilbertraum${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass man das System zu einem vollständigen Orthonormalsystemergänzen kann.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Hilbertraumund sei${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,einOrthonormalsystemmit dem davonerzeugten Untervektorraum${\displaystyle {}U}$ und dem zugehörigenAbschluss${\displaystyle {}W={\overline {U}}}$.Dann gilt für die orthogonale Projektion

${\displaystyle {}p_{W}(v)=\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,.}$

Es sei${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,einvollständiges Orthonormalsystemin einem Hilbertraum${\displaystyle {}V}$. Es seien${\displaystyle {}v,w\in V}$Vektoren mit den Darstellungen${\displaystyle {}v=\sum _{i\in I}c_{i}v_{i}}$und${\displaystyle {}w=\sum _{i\in I}d_{i}v_{i}}$.Zeige

${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle =\sum _{i\in I}c_{i}{\overline {d_{i}}}\,.}$

Zeige, dass zweiseparableHilberträumevon unendlicher Dimension zueinanderisometrischisomorphsind.

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten ${\displaystyle {}(-2,10),\,(3,5),\,(4,8),\,(7,15)}$.

Bestimme die optimale Approximation durch ein quadratisches Polynom vom Grad ${\displaystyle {}\leq 2}$ im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten ${\displaystyle {}(-1,1),\,(0,0),\,(1,1),\,(2,10)}$.

Für die Bewegung eines Teilchens in der Ebene liegen zu verschieden Zeitpunkten die gemessenen Ortspunkte gemäß der Tabelle

${\displaystyle {}t}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {}\pi }$	${\displaystyle {}{\frac {3\pi }{2}}}$
${\displaystyle {}P(t)}$	${\displaystyle {}(9,0)}$	${\displaystyle {}(2,30)}$	${\displaystyle {}(-21,-1)}$	${\displaystyle {}(1,-32)}$

vor. Aus theoretischen Gründen ist klar, dass es sich um eine Bewegung auf einer Ellipse mit konstanter Geschwindigkeit handeln müsste und die Bewegung durch eine Funktion der Form

${\displaystyle {}g(t)=\left(a\cos \left(ct\right),\,b\sin \left(ct\right)\right)\,}$

modelliert werden sollte. Bestimme ${\displaystyle {}(a,b,c)}$ derart, dass die zugehörige Bewegung mit den Messdaten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal übereinstimmt.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ einunendlichdimensionaler${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Hilbertraum.Zeige, dass ${\displaystyle {}V}$ keineOrthonormalbasisbesitzt.