Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 14

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon [a,b]\longrightarrow [c,d]}$

eine bijektive,stetig differenzierbareAbbildung. Was besagt in dieser Situation dieTransformationsformel für Quaderund was dieNewton-Leibniz-Formel?

Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (xe^{y},-e^{-y}),}$

in jedem Punktmaßtreu,aber nicht injektiv ist.

Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y),}$

flächentreuist.

Zeige, dass die Transformation

${\displaystyle [0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow B\left(0,1\right),\,(\alpha ,w)\longmapsto ({\sqrt {w}}\cos \alpha ,{\sqrt {w}}\sin \alpha ),}$

auf geeigneten offenen Teilmengen einDiffeomorphismusist und berechne die Jacobi-Determinantein jedem Punkt.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H}$

ein${\displaystyle {}C^{1}}$-DiffeomorphismusmitoffenenzusammenhängendenMengen${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dannmaßtreuist, wenn die Jacobi-Determinanteüberall den Wert ${\displaystyle {}1}$ oder überall den Wert ${\displaystyle {}-1}$ hat.

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks${\displaystyle {}Q=[-1,3]\times [0,2]}$unter der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).}$

Es sei

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Beweise die Volumenformelfür den zugehörigen Rotationskörper ${\displaystyle {}K}$ mitder Transformationsformelund der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon [a,b]\times D\longrightarrow K,\,(x,y,z)\longmapsto (x,f(x)y,f(x)z),}$

wobei ${\displaystyle {}D}$ die Einheitskreisscheibe bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ messbar,${\displaystyle {}P=(a_{1},\ldots ,a_{n},a_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}}$ ein Punkt mit ${\displaystyle {}a_{n+1}>0}$ und ${\displaystyle {}K_{B}}$ der zugehörigeKegel.Beweisedie Maßformelfür den Kegel mitder Transformationsformelund der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,a_{n+1}]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}\times [0,a_{n+1}],\,(x_{1},\ldots ,x_{n},t)\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n},0)+{\frac {t}{a_{n+1}}}(a_{1}-x_{1},\ldots ,a_{n}-x_{n},a_{n+1}).}$

Es sei

${\displaystyle {}T={\left\{(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\frac {\pi }{2}}\leq \rho \leq \theta ,\ \cos \theta \geq 0,\ \sin \theta \geq 0\right\}}\,.}$

Berechne den Flächeninhalt von T.

Interpretiere dieSubstitutionsregelals einen Spezialfall derTransformationsformel.

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlicher Maßraumund

${\displaystyle h_{1},h_{2}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

messbare Funktionen.Zeige

${\displaystyle {}\int _{M}h_{1}h_{2}d\mu =\int _{S(h_{1})}h_{2}d\mu \otimes \lambda ^{1}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}h_{2}}$ in natürlicher Weise als Funktion auf dem Subgraphen${\displaystyle {}S(h_{1})}$ zu ${\displaystyle {}h_{1}}$ aufgefasst wird.

Berechne ${\displaystyle {}\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{1+{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}dxdy}$ mitKorollar 14.5.

Berechne den Wert des Quadrats ${\displaystyle {}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {x}\vert ,\vert {y}\vert \leq 1\right\}}}$ für dasBildmaß${\displaystyle {}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{2}}$ unter der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).}$

Es seien${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$offene Mengenim ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ und es sei

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H}$

ein${\displaystyle {}C^{1}}$-Diffeomorphismus.Es sei

${\displaystyle f\colon H\longrightarrow \mathbb {R} _{+}}$

einestetige Funktion.

a) Definiere einen Diffeomorphismus zwischen den offenen Subgraphen zu ${\displaystyle {}f}$ bzw. zu ${\displaystyle {}f\circ \varphi }$.

b) Beweisedie Transformationsformel für Integralein diesem Fall direkt ausSatz 14.2,angewendet auf den Subgraphen, mit Hilfe vonAufgabe 14.12.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle [0,10]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},}$

${\displaystyle {}1}$

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge ${\displaystyle {}1}$ (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache)Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.