Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 14

Die Transformationsformel für Integrale

Korollar

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengenim ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein ${}C^{1}$ -Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für ${}x\in G$ . Es sei ${}Q\subseteq G$ einkompakter achsenparalleler Quader.

Dann gilt

${}\lambda ^{n}(\varphi (Q))=\int _{Q}\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Beweis

Da ${}\varphi$ stetig differenzierbarist, ist die Abbildung

G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto j(x)=\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert =\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert ,

stetigund daher nachSatz 36.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))gleichmäßig stetigauf dem kompaktenQuader ${}Q$ . D.h. zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}j(B\left(x,\delta \right))\subseteq B\left(j(x),\epsilon \right)$ für alle ${}x\in Q$ . Dann gibt es auch ein ${}{\tilde {\delta }}>0$ derart, dass für alle kompakten Teilquader ${}K\subseteq Q$ mit maximaler Kantenlänge ${}\leq {\tilde {\delta }}$ das Bild ${}j(K)$ in einem abgeschlossenen Intervall der Länge ${}2\epsilon$ liegt. Damit ist die Differenz zwischen dem Minimum und dem Maximum von ${}{\left\{j(x)\mid x\in K\right\}}$ maximal gleich ${}2\epsilon$ .

Sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wir unterteilen ${}Q$ in ${}k^{n}$ kompakte Teilquader, indem wir jede Quaderkante in ${}k$ gleichlange Teile unterteilen, und wählen dabei ${}k\in \mathbb {N}$ so groß, dass die entstehenden ${}k^{n}$ Teilquader die oben beschriebene Eigenschaft haben. Es sei ${}I$ eine Indexmenge zu dieser Unterteilung, es ist also ${}Q=\bigcup _{i\in I}K_{i}$ und damit ${}\varphi (Q)=\bigcup _{i\in I}\varphi (K_{i})$ . Diese beiden Vereinigungen sind nicht disjunkt, jedoch sind die Schnittmengen der Quader nachLemma 6.11und die Schnittmengen der ${}\varphi (K_{i})$ als Bilder von Quaderseiten nachKorollar 13.6 Nullmengen.Wir wendenLemma 13.7auf die Teilquader ${}K_{i}$ an und erhalten

{}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})\cdot {\min {\left(j(x),x\in K_{i}\right)}}&\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&=\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (K_{i}))\\&\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})\cdot {\max {\left(j(x),x\in K_{i}\right)}}.\end{aligned}}

Dabei ist die Differenz zwischen links und rechts durch

{}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})2\epsilon =2\epsilon \lambda ^{n}(Q)\,

beschränkt, kann also durch ${}\epsilon \rightarrow 0$ beliebig klein gemacht werden. Die gleichen Abschätzungen gelten wegen der Monotonie des Integrals auch für das Integral ${}\int _{Q}j(x)\,d\lambda ^{n}(x)$ , so dass

{}\lambda ^{n}(\varphi (Q))=\int _{Q}j(x)\,d\lambda ^{n}(x)\,

gilt.

\Box

Satz

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengenim ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein ${}C^{1}$ -Diffeomorphismusmit der Jacobi-Determinante ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für ${}x\in G$ . Es sei ${}S\subseteq G$ einemessbare Menge.

Dann ist ${}\varphi (S)$ ebenfallsmessbarund es gilt

${}\lambda ^{n}(\varphi (S))=\int _{S}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Beweis

EinDiffeomorphismusund seine Umkehrabbildungsind stetig,daher liegt eine Bijektion der messbaren Teilmengenvon ${}G$ und von ${}H$ vor.Wir betrachten die beiden Zuordnungen

{\mathcal {B}}(G)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,S\longmapsto \int _{S}\vert {J(\varphi )(x)}\vert \,d\lambda ^{n}(x),

also dasMaßauf ${}G$ mit der Dichte ${}\vert {J(\varphi )(x)}\vert$ , und

{\mathcal {B}}(G)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,S\longmapsto \lambda ^{n}(\varphi (S)),

also dasBildmaßvon ${}\lambda ^{n}$ unter der Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ , und müssen zeigen, dass diese beiden Maße gleich sind.
NachKorollar 14.1gilt die Gleichheit für alle kompakten achsenparallelen Quader. Aufgrund vonAufgabe 9.3bzw.Korollar 13.6gilt die Gleichheit auch für alle offenen bzw. „nach oben halboffenen“ achsenparallelen Quader, also Produkte von nach oben halboffenen Intervallen.Die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von diesen zuletzt genannten Quadern bilden einen Mengen-Präring im ${}\mathbb {R} ^{n}$ . Diese Menge ist auch ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystemfür das System derBorelmengen.Daher müssen nachSatz 3.7die beiden Maße generell übereinstimmen.

\Box

Wir kommen zur Transformationsformel für Integrale.

Satz

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengenim ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein ${}C^{1}$ -Diffeomorphismusmit der Jacobi-Determinante

{}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,

für ${}x\in G$ .Es sei

f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}

einemessbare Funktion.

Dann ist ${}f$ auf ${}H$ genau dannintegrierbar,wenn die Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi$ auf ${}G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt

${}\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Beweis

Die Zuordnung ${}S\mapsto \lambda ^{n}(\varphi (S))$ für messbare Mengen ${}S\subseteq G$ ist einMaßauf ${}{\mathcal {B}}(G)$ und zwar handelt es sich um das Bildmaß ${}\varphi _{*}^{-1}\lambda ^{n}$ von ${}\lambda ^{n}$ unter der Umkehrabbildung

\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G.

NachSatz 14.2besitzt dieses Maß dieDichte ${}x\mapsto \vert {(J(\varphi ))(x)}\vert$ . Daher gilt nachAufgabe 13.20und derallgemeinen Transformationsformel

{}{\begin{aligned}\int _{G}(f\circ \varphi )\cdot \vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}&=\int _{G}(f\circ \varphi )\,d(\varphi _{*}^{-1}\lambda ^{n})\\&=\int _{H}(f\circ \varphi \circ \varphi ^{-1})\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{H}f\,d\lambda ^{n}.\end{aligned}}

\Box

Beispiele zur Transformationsformel

Wenn bei einem Diffeomorphismus der Betrag der Jacobi-Determinante überall ${}1$ ist, so ist er maßtreu. Es ist einfach, maßtreue, nichtlineare Abbildungen zu konstruieren.

Beispiel

Es sei ${}h\in \mathbb {R} [y]$ ein beliebiges Polynom in der einen Variablen ${}y$ . Dann ist die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+h(y),y)

ein flächentreuer Diffeomorphismus. Die Jacobi-Matrixvon ${}\varphi$ ist ja

{}\operatorname {Jak} (\varphi )_{(x,y)}={\begin{pmatrix}1&h'(y)\\0&1\end{pmatrix}}\,,

so dass die Jacobi-Determinantekonstant gleich ${}1$ ist. Wenn man die Rollen von ${}x$ und ${}y$ vertauscht und die Hintereinanderschaltung von solchen Abbildungen betrachtet, so erhält man flächentreue Abbildungen, denen man es nicht auf den ersten Blick ansieht. Beispielsweise ist zu ${}\varphi (x,y)=(x+y^{2},y)$ und ${}\psi (x,y)=(x,y+x^{3})$ die Hintereinanderschaltung

{}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(x,y)&=\psi (\varphi (x,y))\\&=\psi \left(x+y^{2},\,y\right)\\&=\left(x+y^{2},\,y+{\left(x+y^{2}\right)}^{3}\right)\\&=\left(x+y^{2},\,y+x^{3}+3x^{2}y^{2}+3xy^{4}+y^{6}\right).\end{aligned}}

Korollar

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\theta )\longmapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ),

diePolarkoordinatenauswertungund es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen,auf denen ${}\varphi$ einen Diffeomorphismusinduziert. Es sei

f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}

eine integrierbare Funktion.

Dann ist

$\int _{H}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{G}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot \vert {r}\vert \,d\lambda ^{2}(r,\theta )\,.$

Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem ${}f$ die Formel

\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\theta \,dr\,.

Beweis

Dies folgt wegen

{}\det \left(D\varphi \right)_{(r,\theta )}=\det {\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r\,

direkt ausSatz 14.3.

\Box

Lemma

Es ist

${}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,.$

Beweis

Durch eine einfacheSubstitutionist die Aussage äquivalent zu

{}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.

Nennen wir dieses Integral ${}I$ . NachKorollar 13.2 ist

{}I^{2}={\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}\cdot {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\,d\lambda ^{2}\,.

Durch Einführung von Polarkoordinaten ${}x=r\cos \theta$ und ${}y=r\sin \theta$ ist dieses Integral nachKorollar 14.5und nach einer erneuten Anwendung von Korollar 13.2gleich

{}{\begin{aligned}\,&={\frac {1}{2\pi }}\int _{[0,2\pi ]\times \mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(\int _{[0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{1}(\theta )\right)}{\left(\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\right)}\\&=\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,dr\\&=-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}|_{0}^{\infty }\\&=1.\end{aligned}}

Damit ist auch ${}I=1$ .

\Box

Beispiel

Es soll eine Straße in der Ebene der Breite ${}2a$ asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve

[0,s]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \psi (t)={\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}},

bestimmt ist. Dabei sei ${}\psi$ zweimal stetig differenzierbarundbogenparametrisiert,d.h. es sei ${}f'(t)^{2}+g'(t)^{2}=1$ ,was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung

\varphi \colon [0,s]\times [-a,a]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,r)\longmapsto {\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}-g'(t)\\f'(t)\end{pmatrix}},

parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung ${}\psi$ injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.

Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist