- Aufwärmaufgaben
Berechne dasIntegral
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über dem Quader
.
a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?
b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?
c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus ()dividiert?
Berechne das Integral zur Funktion
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über dem Einheitswürfel .
Wir betrachten die Funktion
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a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers
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b) Zeige, dass das (von abhängige)Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist(dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).
Es sei
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eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt betrachten wir(für )die Abbildung
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a) Es sei stetig. Zeige
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b) Wie ist für beliebige zu definieren?
Stelle eine Formel für
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auf und beweise sie
a) mittelsdem Satz von Fubini,
b) mittelsAufgabe 13.8,
c) mittelsAufgabe 10.12.
Es sei ein Maßraum und es sei
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eine nichtnegativemessbare Funktion.Zeige, dass die Zuordnung
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einMaßauf ist.
WelcheDichtebesitzt dasBorel-Lebesgue-Maßauf dem bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?
Man gebe ein Beispiel für einMaß auf , das keineDichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.
Fürintegrierbare Funktionen
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nennt man die durch
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definierte Funktion dieFaltung von und .
Wir betrachten die Abbildung
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Berechne das Minimum und das Maximum von
auf dem Quadrat
. Welche Abschätzung ergibt sich daraus für
?
- Aufgaben zum Abgeben
Berechne dasIntegral zur Funktion über dem Rechteck .
Wir betrachten die Abbildung
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Für welche Quadrate der Kantenlänge wird dasIntegral
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maximal? Welchen Wert besitzt es?
Es seien und -endlicheMaßräume,und es seien
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und
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messbarenichtnegativeintegrierbare Funktionenmit den zu diesenDichtengehörigen Maßen und .Zeige, dass auf dasProduktmaß mit dem Maß zur Dichte
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bezüglich übereinstimmt.
Wir betrachten das Bildmaß zur Abbildung()
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a) Zeige, dass ein-endliches Maßauf ist.
b) Zeige, dass bezüglich dieDichte
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besitzt, wobei
das Volumen der
-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
Wir betrachten die Abbildung
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Berechne das Minimum und das Maximum von auf den beiden Quadraten und .Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für und für ?