Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 13



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne dasIntegral

über dem Quader .


Aufgabe

Es sei der Subgraph unterhalb derStandardparabel zwischen und .Berechne dasIntegral


Aufgabe *

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus ()dividiert?


Aufgabe *

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Aufgabe *

Es sei der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall , wobei mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a)

b)


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers

b) Zeige, dass das (von abhängige)Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist(dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).


Aufgabe

Beweiseden Satz von Fubinifür einestetige Funktion

mit Hilfe vonAufgabe 10.12.


Aufgabe

Es sei

eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt betrachten wir(für )die Abbildung

a) Es sei stetig. Zeige

b) Wie ist für beliebige zu definieren?


Aufgabe

Stelle eine Formel für

auf und beweise sie

a) mittelsdem Satz von Fubini,

b) mittelsAufgabe 13.8,

c) mittelsAufgabe 10.12.


Aufgabe

Es sei ein Maßraum und es sei

eine nichtnegativemessbare Funktion.Zeige, dass die Zuordnung

einMaßauf ist.


Aufgabe

WelcheDichtebesitzt dasBorel-Lebesgue-Maßauf dem bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einMaß auf , das keineDichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.


Fürintegrierbare Funktionen

nennt man die durch

definierte Funktion dieFaltung von und .


Aufgabe

Es seien

Dichtenauf dem mit den zugehörigen Maßen bzw. .Zeige, dass dieFaltung der beiden Maße dieFaltung als Dichte besitzt.


Aufgabe

Es seieine stetigeDichteund das zugehörige Maß. Zeige, dass für jeden Punkte die Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass bei einer Lipschitz-stetigen Abbildungzwischen Räumen unterschiedlicher Dimension das Bild einer Nullmenge keine Nullmenge sein muss. Wo bricht der Beweis zuLemma 13.5zusammen?


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Berechne das Minimum und das Maximum von auf dem Quadrat . Welche Abschätzung ergibt sich daraus für ?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei der Subgraph derSinusfunktion zwischen und .Berechne dieIntegrale

a) ,

b) .


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne dasIntegral zur Funktion über dem Rechteck .


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Für welche Quadrate der Kantenlänge wird dasIntegral

maximal? Welchen Wert besitzt es?


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein-endlicherMaßraum,es sei

eine messbarenichtnegativeintegrierbare Funktionund sei das Maß zur Dichte. Zeige, dass für jede messbare Funktion

die Beziehung

gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und -endlicheMaßräume,und es seien

und

messbarenichtnegativeintegrierbare Funktionenmit den zu diesenDichtengehörigen Maßen und .Zeige, dass auf dasProduktmaß mit dem Maß zur Dichte

bezüglich übereinstimmt.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten das Bildmaß zur Abbildung()

a) Zeige, dass ein-endliches Maßauf ist.

b) Zeige, dass bezüglich dieDichte

besitzt, wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Berechne das Minimum und das Maximum von auf den beiden Quadraten und .Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für und für ?



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