Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 26

Die Konjugationsklassensind Äquivalenzklassen,daher bilden sie eineZerlegungvon ${\displaystyle {}G}$. Die Summe der Anzahl der Elemente in den Konjugationsklassen ist daher gleich der Ordnungvon ${\displaystyle {}G}$. Die einelementigen Konjugationsklassen entsprechen dabei den Elementen imZentrumder Gruppe.

(1). Es ist klar, dass das neutrale Elementzu ${\displaystyle {}G_{a}}$ gehört. Es seien ${\displaystyle {}x,y\in G_{a}}$. Dann ist

${\displaystyle {}xya(xy)^{-1}=xyay^{-1}x^{-1}=xax^{-1}=a\,,}$

also ${\displaystyle {}xy\in G_{a}}$. Bei ${\displaystyle {}x\in G_{a}}$ ist${\displaystyle {}xax^{-1}=a}$,was man direkt zu${\displaystyle {}a=x^{-1}ax}$auflösen kann, was wiederum ${\displaystyle {}x^{-1}\in G_{a}}$ bedeutet.
(2). Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle G\longrightarrow K,\,x\longmapsto xax^{-1}.}$

Da ${\displaystyle {}K}$ genau aus allen zu ${\displaystyle {}a}$ konjugierten Elementenbesteht, ist diese Abbildung surjektiv.Unter dieser Abbildung ist ${\displaystyle {}G_{a}}$ das Urbildvon ${\displaystyle {}a}$. Es gilt${\displaystyle {}xax^{-1}=yay^{-1}}$genau dann, wenn${\displaystyle {}y^{-1}xax^{-1}y=a}$ist, also genau dann, wenn ${\displaystyle {}y^{-1}x\in G_{a}}$ ist. Das bedeutet, dass dieFasernder Abbildung gerade dieLinksnebenklassenzur Untergruppe ${\displaystyle {}G_{a}}$ sind. Daher ist ${\displaystyle {}{\#\left(K\right)}}$ gleich demIndexvon ${\displaystyle {}G_{a}}$ in ${\displaystyle {}G}$.
(3) folgt aus (2) undSatz 4.16.

Wir gehen von der Klassengleichungaus, also von

${\displaystyle {}\operatorname {ord} {\left(G\right)}=\operatorname {ord} {\left(Z\right)}+\sum _{j\in J}n_{j}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}n_{j}}$ den Indexder zu den mehrelementigen Konjugationsklassen${\displaystyle {}C_{j}}$ gehörenden echten Untergruppen(im Sinne vonLemma 26.3)${\displaystyle {}G_{j}\subseteq G}$bezeichnet. Jedes ${\displaystyle {}n_{j}}$ ist nachLemma 26.3  (3)ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$. Daher ist auch ${\displaystyle {}\operatorname {ord} {\left(Z\right)}}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$. Somit ist ${\displaystyle {}Z}$ nicht trivial.

Wir führen Induktion über ${\displaystyle {}r}$, wobei die Fälle${\displaystyle {}r=0,1}$klar sind. Es sei also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen

${\displaystyle {}K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}\subset L_{r+1}=L\,}$

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Körper${\displaystyle {}M}$, ${\displaystyle {}L_{r}\subseteq M\subseteq {\mathbb {C} }}$,derart, dass${\displaystyle {}K\subseteq M}$eineGaloiserweiterungist, die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Als Galoiserweiterung über ${\displaystyle {}K}$ ist ${\displaystyle {}M}$ nachSatz 16.6der Zerfällungskörper eines(separablen)Polynoms ${\displaystyle {}F\in K[X]}$. Wir können${\displaystyle {}L_{r+1}=L_{r}(x)}$mit${\displaystyle {}x^{2}=a\in L_{r}}$schreiben. Wir betrachten das Polynom

${\displaystyle {}H=\prod _{\varphi \in \operatorname {Gal} \,(M{|}K)}{\left(X^{2}-\varphi (a)\right)}\,.}$

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind invariant unter der Galoisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(M{|}K)}$ und gehören daher wegenSatz 16.6zu ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}M'}$ der Zerfällungskörper von ${\displaystyle {}H}$ über ${\displaystyle {}M}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$. Dieser ist insgesamt der Zerfällungskörper vom Produkt ${\displaystyle {}FH}$ über ${\displaystyle {}K}$, so dass${\displaystyle {}K\subseteq M'}$insbesondere eine Galoiserweiterung ist. Nach Konstruktion ist ${\displaystyle {}x}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}H}$, woraus sich${\displaystyle {}L=L_{r}(x)\subseteq M'}$ergibt. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen

${\displaystyle {}K=M_{0}\subset M_{1}\subset \ldots \subset M_{s}=M\,.}$

Diese erweitern wir sukzessive zu einer Kette

${\displaystyle {}M=M_{s}\subset M_{s+1}\subset \ldots \subset M_{t}=M'\,}$

von quadratischen Körpererweiterungen, wobei${\displaystyle {}M_{s+i+1}=M_{s+i}{\left({\sqrt {\varphi _{i}(a)}}\right)}}$sei und ${\displaystyle {}\varphi _{i}}$ die Automorphismen von ${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(M{|}K)}$ durchlaufe.

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich wie inSatz 25.4.
Es sei (2) erfüllt. NachLemma 26.5gibt es eineendliche Galoiserweiterung${\displaystyle {}K\subseteq M}$, die ${\displaystyle {}L}$ und damit ${\displaystyle {}z}$ enthält und die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. NachSatz 2.8ist dann der Gradvon${\displaystyle {}K\subseteq M}$eine Zweierpotenz. Es sei ${\displaystyle {}L'}$ derZerfällungskörpervon ${\displaystyle {}z}$ über ${\displaystyle {}K}$. Da ${\displaystyle {}M}$ galoissch ist, gilt${\displaystyle {}L'\subseteq M}$, und daher ist auch der Grad von${\displaystyle {}K\subseteq L'}$ eine Zweierpotenz.
Die Implikationen von (3) nach (4) und von (4) nach (5) sind klar aufgrund vonSatz 16.6.
(5) ${\displaystyle {}\Longrightarrow }$ (2). Es sei nun (5) erfüllt, und eine Galoiserweiterung${\displaystyle {}K\subseteq M}$in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ mit ${\displaystyle {}z\in M}$ gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz ${\displaystyle {}2^{r}}$ ist.Wir zeigen durch Induktion nach ${\displaystyle {}r}$, dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt(also ohne direkten Bezug auf ein ${\displaystyle {}z}$.). Dabei ist der Fall ${\displaystyle {}r=0}$ trivial. Es sei also${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}M=2^{r}}$(${\displaystyle {}r\geq 1}$)und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. NachSatz 16.6ist dann auch die OrdnungderGaloisgruppe${\displaystyle {}G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)}$gleich ${\displaystyle {}2^{r}}$. Aufgrund vonLemma 26.4gibt es ein nichttriviales Zentrum${\displaystyle {}Z\subseteq G}$,so dass esnach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppenauch eine Untergruppe${\displaystyle {}H\subseteq Z}$mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist ${\displaystyle {}H}$ einNormalteilerin ${\displaystyle {}G}$. Wir betrachten${\displaystyle {}L=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq M}$.NachSatz 16.6ist${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{L}M=2}$und nachSatz 17.5ist${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Galoiserweiterung der Ordnung ${\displaystyle {}2^{r-1}}$ und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch${\displaystyle {}L\subset M}$zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.