Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 25
- Die Quadratur des Rechtecks
Korollar
Es sei ein Rechteck in der Ebene gegeben.
Dann lässt sich mitZirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren.
Beweis
Die Längen der Rechteckseiten seien und .Wir wählen einen Eckpunkt des Rechtecks als Nullpunkt und verwenden die Geraden durch die anliegenden Rechteckseiten als Koordinatenachsen. Wir wählen willkürlich einen Punkt ()auf einer der Achsen und schlagen einen Kreis um den Nullpunkt durch den Eckpunkt auf der anderen Achse, so dass beide Seitenlängen auf der mit und markierten Achse liegen. Darauf führen wir die Multiplikation nachLemma 24.8durch. Aus diesem Produkt zieht man nun gemäßLemma 24.10die Quadratwurzel und erhält somit . Mit dieser Streckenlänge konstruiert man ein Quadrat, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt des vorgegebenen Rechtecks ist.
Man beachte, dass im Beweis der vorstehenden Aussage die Zahl (also der Punkt auf der Achse)von der Wahl der abhängt, nicht aber und damit natürlich auch nicht die Seitenlänge des konstruierten Quadrats.
- Konstruierbare und algebraische Zahlen
Wir wollen nun die konstruierbaren Zahlen algebraisch mittels quadratischer Körpererweiterungen charakterisieren.Unter einer reell-quadratischen Körpererweiterung eines Körpersverstehen wir eine quadratische Körpererweiterungmit,die sich also innerhalb der reellen Zahlen abspielt. Eine solche Körpererweiterung ist immer durch die Adjunktion einer Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl mit , gegeben. Es gilt die Isomorphie
Lemma
SeieinKörper. Es sei ein Punkt, der sich ausin einem Schritt konstruieren lässt.
Dann liegen die Koordinaten von in einerreell-quadratischen Körpererweiterung von .
Beweis
Wir gehen die drei Möglichkeiten durch, einen Punkt aus in einem Schrittzu konstruieren. Es sei der Schnittpunkt von zwei verschiedenen Geraden und ,die über definiert sind. Es sei alsoundmit.Dann gehört der Schnittpunkt zu und seine Koordinaten gehören zu .
Es sei eine über definierte Gerade und ein über definierter Kreis. Dann istundmit.Wir können annehmen, dassist, so dass die Geradengleichung auf die Formgebracht werden kann. Einsetzen von dieser Gleichung in die Kreisgleichung ergibt eine quadratische Gleichung für über . Die reellen Koordinaten der (eventuell komplexen)Lösungen davon liegen in einer quadratischen Erweiterung von . Das gilt dann auch für die zugehörigen Lösungen für .
Es seien nun und zwei über definierte verschiedene Kreise. Es seienunddie Kreisgleichungen. Ein Schnittpunkt der beiden Kreise muss auch jede Linearkombination der beiden Gleichungen erfüllen. Wir betrachten die Differenz der beiden Gleichungen, die die Gestalt
besitzt. D.h. dies ist eine Geradengleichung, und die Schnittpunkte der beiden Kreise stimmen mit den Schnittpunkten eines Kreises mit dieser Geraden überein. Wir sind also wieder im zweiten Fall.
Beispiel
Wir betrachten die beiden Kreise mit den Kreisgleichungen
Die Differenz der beiden Gleichungen ist
bzw.
Die Schnittpunkte der beiden Kreise müssen also auch auf der durchgegebenen Geraden liegen. Setzt man diese Geradenbedingung in die erste Kreisgleichung ein, so erhält man
also
Satz
Es sei eine komplexe Zahl. Dann ist einekonstruierbare Zahlgenau dann,
wenn es eine Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen
derart ist, dass die Koordinaten von zu gehören.
Beweis
Es sei eine konstruierbare komplexe Zahl. D.h. es gibt eine Folge von Punkten derart, dass aus den Vorgängerpunkten in einem Schritt konstruierbarist. Es seiund es sei
der von den Koordinaten der Punkte erzeugte Unterkörper von .NachLemma 25.2liegt in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von (und zwar ist oder ist eine reell-quadratische Körpererweiterung von ).Die Koordinaten von liegen also in , und ist das Endglied in einer Folge von quadratischen Körpererweiterungen von .
Es sei umgekehrt angenommen, dass die Koordinaten eines Punktesin einer Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen von liegen.Wir zeigen durch Induktion über die Länge der Körperkette, dass die Zahlen in einer solchen Kette aus quadratischen Körpererweiterungen konstruierbar sind. Beiist,und diese Zahlen sind konstruierbar. Es sei also schon gezeigt, dass alle Zahlen aus konstruierbar sind, und seieine reell-quadratische Körpererweiterung. NachLemma 2.7istmit einer positiven reellen Zahl . Nach Induktionsvoraussetzung ist konstruierbar und nachLemma 24.10ist konstruierbar. Daher ist auch jede Zahl mit ,konstruierbar. Damit sind die Koordinaten von konstruierbar und somit ist nachLemma 24.7auch selbst konstruierbar.
Wir werden in der nächsten Vorlesung zeigen, dass eine komplex-algebraische Zahl genau dann konstruierbar ist, wenn der Grad des Zerfällungskörpers des Minimalpolynoms von eine Potenz von ist. Für viele Anwendungen sind allerdings schon die oben vorgestellte Charakterisierung und die folgenden Korollare ausreichend.
Korollar
Es sei einekonstruierbare Zahl.
Dann ist derGrad desMinimalpolynoms von eine Potenz von zwei.
Beweis
Die Koordinaten der konstruierbaren Zahl liegen nachSatz 25.4in einer Folge von reell-quadratischen Körpererweiterungen
Diese Kette kann man um die komplex-quadratische Körpererweiterungergänzen mit . Nachder Gradformelist der Grad von über gleich . Dabei istein Unterkörper und daher ist, wieder nach der Gradformel, der Grad von über ein Teiler von , also selbst eine Potenz von .
- Das Delische Problem
Wir kommen zur ersten Konsequenz von unserer systematischen Untersuchung der konstruierbaren Zahlen für die klassischen Konstruktionsprobleme.
Korollar
Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.
Beweis
Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge und dem Volumen . Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. DasMinimalpolynomvon ist , da dieses offenbar annulliert und nachSatz 17.9irreduzibelist. NachKorollar 25.6ist nicht konstruierbar, da keine Zweierpotenz ist.
- Die Quadratur des Kreises
Satz
Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
Beweis
Wenn es ein Konstruktionsverfahren gäbe, so könnte man insbesondere den Einheitskreis mit dem Radius quadrieren, d.h. man könnte ein Quadrat mit der Seitenlänge mit Zirkel und Lineal konstruieren. Nach Korollar 25.5muss aber eine konstruierbare Zahl algebraischsein. Nachdem Satz von Lindemannist aber und damit auch transzendent.
Es gibt natürlich einige geometrische Methoden die Zahl zu erhalten, z.B. die Abrollmethode und die Schwimmbadmethode.
Beispiel
Die einfachste Art, die Zahl geometrisch zu konstruieren, ist die Abrollmethode, bei der man einen Kreis mit Durchmesser einmal exakt abrollt. Die zurückgeführte Entfernung ist genau der Kreisumfang, also .
Beispiel
Man kann die Zahl auch mit Hilfe von Schwimmbecken und einer idealen Flüssigkeit erhalten.
- Wir starten mit einem Einheitskreis,
- den wir als Grundfläche
- eines Schwimmbeckens der Höhe 1 nehmen.
- Das füllen wir randvoll mit Wasser auf.
- Wir nehmen ein zweites Schwimmbecken mit quadratischer Grundfläche und Höhe 4.
- Der Inhalt des ersten Schwimmbeckens wird
- in das zweite Schwimmbecken gegossen.
- Der Wasserstand im zweiten Schwimmbecken ist exakt .
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