Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 26

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ genau dannkommutativ ist, wenn alleKonjugationsklassen einelementig sind.

Sei ${\displaystyle {}G}$ eine endlicheGruppe und seien ${\displaystyle {}x,y\in G}$ konjugierte Elemente. Zeige, dass${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$die gleicheOrdnungbesitzen.

Zeige, dass zwei Permutationen${\displaystyle {}\sigma ,\tau \in S_{n}}$ genau dann konjugiertsind, wenn ihre Zykeldarstellungden gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.

Überprüfedie Klassengleichungfür die Permutationsgruppen${\displaystyle {}S_{2},S_{3},S_{4},S_{5}}$.

Überprüfedie Klassengleichungfür die eigentliche Würfelgruppe.

Bestimme zu jeder Permutation${\displaystyle {}\pi \in S_{n}}$, ${\displaystyle {}n=2,3,4,5}$,die Isotropiegruppe ${\displaystyle {}G_{\pi }}$ und die Konjugationsklasse ${\displaystyle {}[\pi ]}$, und bestätige die Gleichung

${\displaystyle {}\operatorname {ord} {\left(G_{\pi }\right)}\cdot {\#\left([\pi ]\right)}=n!\,}$

ausLemma 26.3.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}G}$ eineendliche Gruppemit ${\displaystyle {}p^{r}}$ Elementen. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ auflösbarist.

Man gebe ein Beispiel für eineendliche Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$, ${\displaystyle {}K\subseteq {\mathbb {C} }}$,das zeigt, dass zu einem Element ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }\in K}$ die reellen Koordinaten ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$nicht zu ${\displaystyle {}K}$ gehören müssen.

Es sei ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ einekonstruierbare Zahl.Zeige, dass der erzeugte Unterkörper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} (z)}$ eineRadikalerweiterungvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ einekonstruierbare Zahlmit demMinimalpolynom ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$. Zeige, dass jede komplexe Nullstelle von ${\displaystyle {}F}$ ebenfalls konstruierbar ist.

Es sei ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ einekonstruierbare Zahlmit demMinimalpolynom${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$. Zeige, dass der Zerfällungskörpervon ${\displaystyle {}F}$ eineRadikalerweiterungvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.

Zeige, dass einekonstruierbare Zahl${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ in einerauflösbaren Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }}$liegt.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Galoiserweiterungvom Grad${\displaystyle {}p^{r}}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$ und${\displaystyle {}r\geq 1}$.Zeige, dass es einen echten Zwischenkörper${\displaystyle {}K\subset M\subset L}$gibt, der über ${\displaystyle {}K}$ eine Galoiserweiterung ist.

Es sei${\displaystyle {}K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L}$eine Kette vonquadratischen Körpererweiterungenin ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$. Zeige, dass es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen${\displaystyle {}L=M_{0}\subset M_{1}\subset \ldots \subset M_{s}=M}$derart gibt, dass${\displaystyle {}K\subseteq M}$eineGaloiserweiterungist.

Finde zur Kette aus quadratischen Körpererweiterungen

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\subset \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{2}}]=L\,}$

eine Galoiserweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq M}$minimalen Grades mit ${\displaystyle {}{\sqrt[{4}]{2}}\in M}$.

Es seien ${\displaystyle {}K\subseteq L\subseteq M}$ endliche Körpererweiterungen.Es sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ einirreduzibles Polynom, dass über ${\displaystyle {}M}$ in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper ${\displaystyle {}L}$ enthalte keine Nullstelle von ${\displaystyle {}F}$. Folgt daraus, dass ${\displaystyle {}F}$ irreduzibel über ${\displaystyle {}L}$ ist?

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$eineKörpererweiterungin ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ und es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$der Unterkörper, der aus allenkonstruierbaren Zahlenin ${\displaystyle {}L}$ besteht. Zeige, dass für jeden Automorphismus${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )}$die Beziehung${\displaystyle {}\varphi (K)\subseteq K}$gilt.

Es seien ${\displaystyle {}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ algebraische Zahlen.

a) Zeige, dass es einirreduzibles Polynom${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ derart gibt, dass man alle ${\displaystyle {}\alpha _{i}}$ als${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Linearkombinationvon Potenzen der Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ schreiben kann.

b) Zeige, dass es keinirreduzibles Polynom${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ derart geben muss, dass alle ${\displaystyle {}\alpha _{i}}$ Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ sind.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Galoiserweiterungmit Galoisgruppe ${\displaystyle {}G}$. Es sei ${\displaystyle {}z\in L}$ ein Element derart, dass${\displaystyle {}\varphi (z)}$, ${\displaystyle {}\varphi \in G}$,eine${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ bildet. Wir betrachten das Polynom

${\displaystyle F=\prod _{\varphi \in G}(X-\varphi (z)).}$

Zeige, dass die Koeffizienten von ${\displaystyle {}F}$ zu ${\displaystyle {}K}$ gehören, dass ${\displaystyle {}F}$ in ${\displaystyle {}K[X]}$ irreduzibelist und dass ${\displaystyle {}L}$ derZerfällungskörpervon ${\displaystyle {}F}$ über ${\displaystyle {}K}$ ist.