Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 8

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Körpererweiterung und ${\displaystyle {}f\in L}$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto fx,}$

${\displaystyle {}K}$-linearist.

Wir betrachten die endliche Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }}$.Beschreibe die Matrix der Multiplikationsabbildung zu ${\displaystyle {}7+5{\mathrm {i} }}$ bezüglich der reellen Basis ${\displaystyle {}1,{\mathrm {i} }}$ von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]=L}$.Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu ${\displaystyle {}-4+9{\sqrt {3}}}$ bezüglich der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis${\displaystyle {}1,{\sqrt {3}}}$ von ${\displaystyle {}L}$.

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${\displaystyle {}7x^{2}-4x+5}$ in der kubischen Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-6X^{2}+5X-8\right)}\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}p,q}$ verschiedene Primzahlenund

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=:L\,}$

die zugehörigeKörpererweiterung.Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element ${\displaystyle {}a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\in L}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle {}1,{\sqrt {p}},{\sqrt {q}},{\sqrt {pq}}}$.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle L\longrightarrow \operatorname {End} _{K}\,(L),\,f\longmapsto \mu _{f},}$

eininjektiverRinghomomorphismusist.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq M\subseteq L}$eineKörpererweiterung.Es sei ${\displaystyle {}f\in M}$ und ${\displaystyle {}B}$ die beschreibende Matrix der Multiplikationsabbildung${\displaystyle {}\mu _{f}\colon M\rightarrow M}$bezüglich einer ${\displaystyle {}K}$-Basisvon ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass bezüglich einer geeigneten ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ die Multiplikationsabbildung${\displaystyle {}\mu _{f}\colon L\rightarrow L}$durch eine Blockmatrix der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B&0&\ldots &0\\0&B&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &B\end{pmatrix}}}$

Bringe für dieKörpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }}$die KonzepteNormundSpurmit dem Betragund dem Realteileiner komplexen Zahl in Verbindung.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterung.Zeige, dass dieNormeinenGruppenhomomorphismus

${\displaystyle N\colon L^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,f\longmapsto N(f),}$

definiert.

Berechne für das Element ${\displaystyle {}2+4x+5x^{2}}$ in der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,}$

dieNormund dieSpur.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq M\subseteq L}$eine Kette vonquadratischen Körpererweiterungen.Zeige, dass für die Normendie Beziehung

${\displaystyle {}N_{K}^{L}=N_{K}^{M}\circ N_{M}^{L}\,}$

gilt.

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\subseteq \mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\,}$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${\displaystyle {}1,x}$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und sei${\displaystyle {}f\in L}$gegeben mit der zugehörigen Multiplikationsabbildung${\displaystyle {}\mu _{f}}$. Zeige, dass dascharakteristische Polynom${\displaystyle {}\chi _{\mu _{f}}}$ ein Vielfaches desMinimalpolynomszu ${\displaystyle {}f}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterungund ${\displaystyle {}f\in L}$. Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der${\displaystyle {}K}$-linearenMultiplikationsabbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon L\longrightarrow L}$

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körperund sei${\displaystyle {}P=X^{n}-c\in K[X]}$ ein irreduzibles Polynom.Es sei

${\displaystyle {}f=a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,}$

ein Element in der einfachenendlichen Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq L=K[X]/(P)}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$. Zeige, dass die Spurvon ${\displaystyle {}f}$ gleich ${\displaystyle {}na_{0}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und sei

${\displaystyle L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-p\right)}}$

der durch das irreduzible Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-p}$ definierte Erweiterungskörper von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Es sei

${\displaystyle f=2+3x-4x^{2}.}$

1. Finde die Matrix bezüglich der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis ${\displaystyle {}1,x,x^{2}}$ von ${\displaystyle {}L}$ der durch die Multiplikation mit ${\displaystyle {}f}$ definierten ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-linearen Abbildung.
2. Berechne die Normund die Spur von ${\displaystyle {}f}$.
3. Bestimme das Minimalpolynomvon ${\displaystyle {}f}$.
4. Finde das Inverse von ${\displaystyle {}f}$.
5. Berechne die Diskriminanteder Basis ${\displaystyle {}1,f,f^{2}}$.

Zeige, dass dieDefinition .der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und es sei ${\displaystyle {}A}$ eine${\displaystyle {}m\times n}$-Matrixund ${\displaystyle {}B}$ eine ${\displaystyle {}n\times m}$-Matrix über ${\displaystyle {}K}$. Zeige

${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)}=\operatorname {Spur} {\left(B\circ A\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei ${\displaystyle {}M}$ eine${\displaystyle {}n\times n}$-Matrixüber ${\displaystyle {}K}$ mit der Eigenschaft, dass dascharakteristische Polynomin Linearfaktoren zerfällt, also

${\displaystyle {}\chi _{M}=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdot (X-\lambda _{2})^{\mu _{2}}{\cdots }(X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\,.}$

Zeige, dass

${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}\,}$

ist.

Es sei

${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)}$

eine Matrixmit ${\displaystyle {}n}$ (paarweise)verschiedenenEigenwerten.Zeige, dass dieSpurvon ${\displaystyle {}M}$ die Summe der Eigenwerte ist.

Berechne dieDiskriminantezur Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,}$

zur Basis${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$und zur Basis${\displaystyle {}2-5{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}4+7{\mathrm {i} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körperder Charakteristik${\displaystyle {}0}$ und sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche KörpererweiterungvomGrad${\displaystyle {}n}$ und sei ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ eine${\displaystyle {}K}$-Basisvon ${\displaystyle {}L}$. Zeige, dass dann

${\displaystyle {}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.}$

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${\displaystyle {}7x^{2}+3x-8}$ in der kubischen Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+9X^{2}-2X+5\right)}\,.}$

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)\subseteq \mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}\,}$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${\displaystyle {}1,x}$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahl.Es sei ${\displaystyle {}a\in K}$ ein Element, das in ${\displaystyle {}K}$ keine ${\displaystyle {}p}$-te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{p}-a}$ irreduzibelist.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineKörpererweiterung,${\displaystyle {}f\in L}$ und${\displaystyle {}M=K[f]}$.Zeige, dass das charakteristische Polynom der Multiplikationsabbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon L\longrightarrow L}$

eine Potenz des Minimalpolynomsvon ${\displaystyle {}f}$ ist.

Bestimme dieDiskriminantezur Basis ${\displaystyle {}1,x,x^{2}}$ der kubischen Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5X^{2}+6X-3\right)}=:L\,.}$