Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 9

Findeprimitive Einheitenin den Restklassenkörpern${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$, ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)}$, ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$, ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)}$.

Bestimme sämtliche primitive EinheitenimRestklassenkörper${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$.

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(31)}$?

Wie viele Elemente besitzt ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(31)}$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${\displaystyle {}x}$ ein primitives Element von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(31)}$. Liste explizit alle Elemente ${\displaystyle {}x^{i}}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Es sei ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(59)}$ der Körper mit ${\displaystyle {}59}$ Elementen.

a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in ${\displaystyle {}K}$.

b) Berechne in ${\displaystyle {}K}$ die Zweierpotenzen ${\displaystyle {}2^{4}}$, ${\displaystyle {}2^{8}}$ und ${\displaystyle {}2^{16}}$.

c) Berechne ${\displaystyle {}2^{29}}$ in ${\displaystyle {}K}$.

d) Man gebe für jede mögliche(multiplikative)Ordnung in ${\displaystyle {}K^{\times }}$ ein Element an, das diese Ordnung besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungeradePrimzahl und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige, dass das Produkt von zweiprimitiven Einheiten niemals primitiv ist.

Bestimme die Einheitenvon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(8)}$.

Konstruiere einen Körper ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{9}}$ mit ${\displaystyle {}9}$ Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahl und ${\displaystyle {}x\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$ eineEinheit. Es sei ${\displaystyle {}a}$ dieOrdnung von ${\displaystyle {}x}$ in der additiven Gruppe ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(p),+,0)}$ und es sei ${\displaystyle {}b}$ die Ordnung von ${\displaystyle {}x}$ in der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle {}({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\cdot ,1)}$. Zeige, dass${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$teilerfremd sind.

Bestimme in der Einheitengruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(17)^{\times }}$ zu jeder möglichen Ordnung ${\displaystyle {}k}$ ein Element ${\displaystyle {}x\in \mathbb {Z} /(17)^{\times }}$, das die Ordnung ${\displaystyle {}k}$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

${\displaystyle H\subseteq \mathbb {Z} /(17)^{\times }}$

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{9}}$ als einen Restklassenkörpervon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]}$. Man gebe eine primitive Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{9}}$ an.

Bestimme in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{9}}$ für jedes Element die multiplikative Ordnung.Man gebe insbesondere die primitiven Einheitenan.

Wie vieleprimitive Elementebesitzt der Körpermit ${\displaystyle {}529}$ Elementen?

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}}$eine Erweiterung endlicher Körpermit${\displaystyle {}q=p^{e}}$und es sei ${\displaystyle {}u}$ eineprimitive Einheitswurzelvon ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$. Was ist die erste Potenz${\displaystyle {}u^{n}}$, ${\displaystyle {}n\geq 1}$,die zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ gehört? Ist dieses ${\displaystyle {}u^{n}}$ ein primitives Element von ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$?

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahl und ${\displaystyle {}F}$ ein Körper mit ${\displaystyle {}p^{2}}$ Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{2})}$ und ${\displaystyle {}F}$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.

a) Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${\displaystyle {}K}$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${\displaystyle {}R}$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Bestimme den Rest von ${\displaystyle {}44!}$ modulo ${\displaystyle {}47}$.

Bestimme die Zerlegung von ${\displaystyle {}X^{p-1}-1}$ in irreduzible Polynomeim Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$. Beweise aus dieser Zerlegungden Satz von Wilson.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.

Zeige, dass die Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

eine kommutative Gruppebilden, in der jedes Element zu sich selbst inversist.

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$, ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(17)}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(19)}$.

Konstruiere zu einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$ einenKörper mit ${\displaystyle {}p^{2}}$ Elementen.

Konstruiereendliche Körper mit ${\displaystyle {}4,8,9,16,25,27,32}$ und ${\displaystyle {}49}$ Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} /(3)[Z]/(Z^{2}+1)}$ der Körper mit ${\displaystyle {}9}$ Elementen (${\displaystyle {}z}$ bezeichne die Restklasse von ${\displaystyle {}Z}$). Führe in ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{9}[X]}$ dieDivision mit Rest„${\displaystyle {}P}$ durch ${\displaystyle {}T}$“ für die beiden Polynome${\displaystyle {}P=X^{4}+(1+2z)X^{3}+zX^{2}+2X+2+z}$ und ${\displaystyle {}T=(z+1)X^{2}+zX+2}$ durch.

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppeeines Körpersmit ${\displaystyle {}25}$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?