Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 10

Es sei ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\frac {2}{3}}]}$ der von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle {}2/3}$ erzeugte Unterringvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von ${\displaystyle {}3}$ im Nenner schreiben lassen.

Zeige, dass die Menge deralgebraischen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {A} }$ keineendliche Körpererweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.

Es seien ${\displaystyle {}K\subseteq L}$und ${\displaystyle {}L\subseteq M}$algebraische Körpererweiterungen.Zeige, dass dann auch${\displaystyle {}K\subseteq M}$eine algebraische Körpererweiterung ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper. Zeige, dass es außer ${\displaystyle {}K}$ keineendliche${\displaystyle {}K}$-Unteralgebra ${\displaystyle {}A\subseteq K[X]}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einkommutativer Ring und ${\displaystyle {}A}$ einekommutative${\displaystyle {}K}$-Algebra. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ist ein${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismus.
2. Die Verknüpfung ${\displaystyle {}\varphi \circ \psi }$ von zwei ${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismen${\displaystyle {}\varphi }$ und ${\displaystyle {}\psi }$ ist wieder ein Automorphismus.
3. Die Umkehrabbildung${\displaystyle {}\varphi ^{-1}}$ zu einem ${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismus ${\displaystyle {}\varphi }$ ist wieder ein Automorphismus.
4. Die Menge der ${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismen bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung eineGruppe.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper der Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$ und sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$einequadratische Körpererweiterung.Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismus${\displaystyle {}L\rightarrow L}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass ein Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ genau dannirreduzibelist, wenn das um ${\displaystyle {}a\in K}$ „verschobene“ Polynom(das entsteht, wenn man in ${\displaystyle {}P}$ die Variable ${\displaystyle {}X}$ durch ${\displaystyle {}X-a}$ ersetzt)irreduzibel ist.

Es sei ${\displaystyle {}x={\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\in \mathbb {R} }$ und betrachte die Körpererweiterung

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (x)=L.}$

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynomvon ${\displaystyle {}x}$ und das Inverse von ${\displaystyle {}x}$.(Man darf dabei verwenden, dass ${\displaystyle {}{\sqrt {2}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}}}$ irrationale Zahlen sind.)

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl.

a) Bestimme denGradder Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,.}$

Man gebe auch eine${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basisvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ an.

b) Zeige, dass in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ alle Elemente der Form${\displaystyle {}m^{3}p}$ und ${\displaystyle {}n^{3}p^{2}}$mit ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {Q} }$ eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl ${\displaystyle {}x\in \mathbb {Q} }$ besitze in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ eine dritte Wurzel. Zeige, dass ${\displaystyle {}x}$ die Form

${\displaystyle x=k^{3}{\text{ oder }}x=m^{3}p{\text{ oder }}x=n^{3}p^{2}}$

mit ${\displaystyle {}k,m,n\in \mathbb {Q} }$ besitzt.

d) Es sei nun ${\displaystyle {}q}$ eine weitere, von ${\displaystyle {}p}$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörperund seien${\displaystyle {}K\subseteq L_{1}}$und${\displaystyle {}K\subseteq L_{2}}$endliche Körpererweiterungen.Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq M}$gibt, die sowohl${\displaystyle {}L_{1}}$ als auch ${\displaystyle {}L_{2}}$als Zwischenkörper enthält.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Körpererweiterung und es sei${\displaystyle {}x_{i}\in L}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,einKörper-Erzeugendensystem(als Körper) von ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}K}$. Es seien ${\displaystyle {}\varphi ,\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (x_{i})=\psi (x_{i})}$ für alle ${\displaystyle {}i\in I}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi =\psi }$ ist.

Es sei${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }}$, ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {R} }$,einealgebraische Zahl.Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl ${\displaystyle {}{\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }}$ sowie der Real- und der Imaginärteil von ${\displaystyle {}z}$ algebraisch sind. Man bestimme denGradderKörpererweiterung

${\displaystyle {\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }.}$

Es sei${\displaystyle {}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}}$die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten dieKörpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,.}$

1. Bestimme das Minimalpolynomvon ${\displaystyle {}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}}$.
2. Zeige, dass derGradder Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$gleich ${\displaystyle {}3}$ ist.
3. Zeige, dass diekomplexe Konjugationnicht ${\displaystyle {}L}$ in ${\displaystyle {}L}$ überführt.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineKörpererweiterungund sei${\displaystyle {}f\in L}$ein Element. Zeige: ${\displaystyle {}f}$ ist genau dannalgebraischüber ${\displaystyle {}K}$, wenn ${\displaystyle {}K[f]=K(f)}$ ist.

Bestimme das Inverse von ${\displaystyle {}2x^{2}+3x-1}$ im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)}$(${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineKörpererweiterung,wobei ${\displaystyle {}L}$ algebraisch abgeschlossen sei. Zeige, dass auch deralgebraische Abschluss ${\displaystyle {}{\overline {K}}}$ von ${\displaystyle {}K}$ in ${\displaystyle {}L}$ algebraisch abgeschlossen ist.^[1]

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ derPolynomringüber ${\displaystyle {}K}$ in zwei Variablen. Es sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom in der einen Variablen ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass durch dieEinsetzung${\displaystyle {}X\mapsto X}$ und ${\displaystyle {}Y\mapsto Y+P(X)}$ ein${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismusvon ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei ${\displaystyle {}L=K(X)}$ derrationale Funktionenkörper über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass es zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ einenRinghomomorphismus${\displaystyle {}\varphi \colon L\rightarrow L}$derart gibt, dass ${\displaystyle {}L\cong \varphi (L)\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterungvom Grad${\displaystyle {}n}$ ist.