Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 7

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und${\displaystyle {}p\in R}$, ${\displaystyle {}p\neq 0}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}p}$ genau dann einPrimelement ist, wenn derRestklassenring ${\displaystyle {}R/(p)}$ ein Integritätsbereich ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Idealmit dem Restklassenring${\displaystyle {}S=R/{\mathfrak {a}}}$.Zeige, dass ein Element ${\displaystyle {}f\in R}$ genau dann eineEinheitin ${\displaystyle {}S}$ ist, wenn in ${\displaystyle {}R}$ das Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ zusammen mit ${\displaystyle {}f}$ dasEinheitsidealerzeugt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Idealmit dem Restklassenring

${\displaystyle {}S=R/{\mathfrak {a}}\,.}$

Zeige, dass die Ideale von ${\displaystyle {}S}$ eindeutig denjenigen Idealen von ${\displaystyle {}R}$ entsprechen, die ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ umfassen.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ einIdealmit dem Restklassenring${\displaystyle {}S=R/{\mathfrak {a}}}$. Zu einem Ideal ${\displaystyle {}I\subseteq R}$ welches ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ enthält, sei ${\displaystyle {}I^{\prime }=IR/{\mathfrak {a}}}$ das zugehörige Ideal in ${\displaystyle {}S}$. Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

${\displaystyle {}R/I\cong S/I^{\prime }\,}$

gibt.

WendeSatz 7.5auf denkanonischen Ringhomomorphismus${\displaystyle {}\mathbb {Z} \rightarrow R}$zu einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ an.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}A}$ eine${\displaystyle {}K}$-Algebramit einem Element ${\displaystyle {}f\in A}$. WendeSatz 7.5auf den zugehörigenEinsetzungshomomorphismus${\displaystyle {}K[X]\longrightarrow A}$, ${\displaystyle {}X\longmapsto f}$,an.

Zeige, dass die komplexen Zahlen ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ die Restklassendarstellung

${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)\,}$

besitzen.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein topologischer Raumund ${\displaystyle {}R=\operatorname {C} ^{0}\,(X,\mathbb {R} )}$ der Ring der stetigen Funktionen auf ${\displaystyle {}X}$. Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq X}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

${\displaystyle {}I={\left\{f\in R\mid f\vert _{T}=0\right\}}\,}$

ein Idealin ${\displaystyle {}R}$ ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle R/I\longrightarrow \operatorname {C} ^{0}\,(T,\mathbb {R} ).}$

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?

Bestimme die multiplikative Ordnungaller Einheitenim Restklassenkörper${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$.

Berechne ${\displaystyle {}3^{1457}}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(13)}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl.Beweise durch Induktion denkleinen Fermat,also die Aussage, dass ${\displaystyle {}a^{p}-a}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ für jede ganze Zahl ${\displaystyle {}a}$ ist.

Bestimme im Polynomring ${\displaystyle {}F_{5}[X]}$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${\displaystyle {}3}$.

Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen ${\displaystyle {}p}$ mit der Eigenschaft, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{6}-1}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ in Linearfaktoren zerfällt.

Betrachte den Körper ${\displaystyle {}K=\mathbb {F} _{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)}$. Führe im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ die Polynomdivision

${\displaystyle X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1{\text{ durch }}uX^{2}+X+u+1}$

aus, wobei ${\displaystyle {}u}$ die Restklasse von ${\displaystyle {}U}$ in ${\displaystyle {}K}$ bezeichnet.

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${\displaystyle {}F=X^{3}+X+2}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)[X]}$.

b) Zeige, dass durch

${\displaystyle K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)}$

ein Körper mit ${\displaystyle {}25}$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}F=X^{3}+X+2}$ über ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und sei ${\displaystyle {}f(x)}$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ vom Grad ${\displaystyle {}d\geq p}$. Zeige, dass es ein Polynom ${\displaystyle {}g(x)}$ mit einem Grad ${\displaystyle {}<p}$ derart gibt, dass für alle Elemente ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} /(p)}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}f(a)=g(a)\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund ${\displaystyle {}R[X]}$ derPolynomringüber ${\displaystyle {}R}$. Es sei${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$einIdealmitErzeugern

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(F_{0},F_{1},\ldots ,F_{n})\,,}$

wobei${\displaystyle {}F_{0}=X-r}$mit ${\displaystyle {}r\in R}$ sei. Für${\displaystyle {}i\geq 1}$seien ${\displaystyle {}G_{i}}$ die Elemente aus ${\displaystyle {}R}$, die entstehen, wenn man in ${\displaystyle {}F_{i}}$ die Variable ${\displaystyle {}X}$ durch ${\displaystyle {}r}$ ersetzt. Zeige, dass eineRingisomorphieder Restklassenringe

${\displaystyle {}R[X]/{\mathfrak {a}}\cong R/(G_{1},\ldots ,G_{n})\,}$

vorliegt.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+4X^{2}-7)}$ das Inversevon ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}x+5}$(${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)}$ das Inversevon ${\displaystyle {}3x+4}$(${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Bestimme das Inversevon

${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {10}}}$

imKörper${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}]}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl.

a) Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{4}-p}$ irreduzibelüber ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.

b) Schließe daraus, dass

${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\subseteq \mathbb {R} \,}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ denGradvier besitzt.

c) Finde einen echten Zwischenkörper

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\,.}$

Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,z=x+{\mathrm {i} }y\longmapsto \vert {z}\vert ^{2}=x^{2}+y^{2},}$

einGruppenhomomorphismusist.

Zeige, dass die Menge

${\displaystyle {}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,}$

mit der Multiplikation in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$ eine kommutative Gruppeist.

Es sei

${\displaystyle {}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,}$

der rationale Einheitskreis mit der aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }}$ ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von${\displaystyle {}{\frac {3}{5}}+{\frac {4}{5}}{\mathrm {i} }\in S_{\mathbb {Q} }^{1}}$.

Bestimme die multiplikative Ordnungaller Einheitenim Restklassenkörper${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)}$.

Bestimme im Polynomring ${\displaystyle {}F_{3}[X]}$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${\displaystyle {}4}$.

Es sei

${\displaystyle {}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,}$

der rationale Einheitskreis mit der aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }}$ ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen ${\displaystyle {}S_{\mathbb {Q} }^{1}}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ nichtisomorphsind.

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,x+{\mathrm {i} }y\longmapsto x^{2}+y^{2},}$

nichtsurjektivist.

Betrachte denKörper${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)=\{0,1,2,...,12\}}$ mit ${\displaystyle {}13}$ Elementen.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}5}$ kein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$ ist und folgere, dass

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-5)=:\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}$

   ein Körper ist.
2. Betrachte diequadratische Körpererweiterung

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(13)\subset \mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}$

   und berechne

   ${\displaystyle (2+3{\sqrt {5}})(1+11{\sqrt {5}})(10+7{\sqrt {5}})}$

3. Finde das Inverse zu ${\displaystyle {}7+3{\sqrt {5}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}$.
4. Zeige, dass ${\displaystyle {}-5}$ kein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$ ist, dafür aber in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}$.

Bestimme das Inversevon

${\displaystyle 2+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}+3{\sqrt {35}}}$

imKörper${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]}$.

Bestimme das Minimalpolynomvon

${\displaystyle {\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.