Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 8
- Norm und Spur bei einer Körpererweiterung
Ein Element einer Körpererweiterung(oder allgemeiner einer-Algebra)definiert durch Multiplikation eine-lineare Abbildung
Dies erlaubt es, Begriffe und Methoden der linearen Algebra anzuwenden. Zu einer-Basisvon wird die Multiplikationsabbildung durch eine-Matrixbeschrieben, wobei denGradder Körpererweiterung bezeichnet. Für liegt bezüglich einer beliebigen Basis die Streckungsmatrix
vor, für beliebige Elemente werden die Matrizen ziemlich kompliziert, was man teilweise durch Wahl einer geeigneten Basis korrigieren kann. Insbesondere sind Konzepte relevant, die nicht von der Wahl einer Basis abhängen.
Beispiel
Es sei einirreduzibles Polynomüber einem Körper und
die zugehörigeendliche Körpererweiterung.NachProposition 7.9bilden die Potenzen, ,(wobei dieRestklassevon bezeichnet)eine-Basisvon . Zu einem wird dieMultiplikationsabbildung
bezüglich der gegebenen Basis durch die -Matrixbeschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten, ,bezüglich der Basis besteht. Wegenstehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von selbst. Zu ist diese Matrix gleich
beschrieben. Zu einem beliebigen Element
wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an
In der folgenden Aussage wird zu einem-Vektorraummit der(nichtkommutative)Ring bezeichnet, der aus allen -linearen Abbildungen besteht und wobei die Multiplikations durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist.
Über diese Konstruktion bzw. Zuordnung werden Norm und Spur von erklärt.
Bemerkung
Zu einer linearen Abbildung
eines endlichdimensionalen -Vektorraumes in sich wird die Determinante und die Spur wie folgt berechnet. Man wählt eine -Basis und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische -Matrix
mit und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt ausdem Determinantenmultiplikationssatz,dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch
gegeben, und dies istnach Aufgabe 8.17ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.
Definition
Es seieine endliche Körpererweiterung.Zu einem Elementnennt man die Determinanteder-linearen Abbildung
die Norm von . Sie wird mit bezeichnet.
Definition
Es sei eine endliche Körpererweiterung.Zu einem Elementnennt man die Spurder-linearen Abbildung
die Spur von . Sie wird mit bezeichnet.
Beispiel
Es seieineKörpererweiterung,die durch die Hinzunahme einer -ten Wurzel aus einem Element entstehe. Es sei die Restklasse von . Dann wird bezüglich der -Basis von durch die Matrix
beschrieben. Somit ist dieNormvon gleich (das Vorzeichen hängt davon ab, ob gerade oder ungerade ist)und dieSpurist .
Lemma
Seieineendliche Körpererweiterung.Dann hat die Norm
folgende Eigenschaften:
- Es ist.
- Für ist,wobei denGradder Körpererweiterung bezeichne.
- Es istgenau dann, wennist.
Beweis
- Dies folgt ausdem DeterminantenmultiplikationssatzundLemma 8.2.
- Zu einer beliebigen Basis von wird die Multiplikation mit einen Element durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ist. Die Determinante ist daher nachLemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
- Die eine Richtung ist klar, sei also.Dann ist eine Einheit in und daher ist die Multiplikation mit eine bijektive -lineare Abbildung,und deren Determinante ist nachSatz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
Lemma
Seieine endliche Körpererweiterungvom Grad. Dann hat die Spur
folgende Eigenschaften:
- Die Spur ist-linear,alsoundfür .
- Für ist.
Beweis
Dies folgt aus den Definitionen.
Norm und Spur sind Elemente aus .
Lemma
Es seieineendliche Körpererweiterungund mit der zugehörigen -linearen Abbildung
Dann stimmt dasMinimalpolynomvon mit dem Minimalpolynomvon überein.
Beweis
Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm
von Ringhomomorphismen, in dem horizontal die Einsetzungshomomorphismen stehen, undLemma 8.2.
Im Minimalpolynom zu finden sich Norm und Spur in folgender Weise wieder.
Satz
Seieine einfache endliche Körpererweiterungvom Grad. Dann hat das Minimalpolynom von die Gestalt
Beweis
Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynomder durch definierten -linearen Multiplikationsabbildung
haben beide den Grad . Nachdem Satz von Cayley-Hamiltonannulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, so dass sie übereinstimmen. Es sei bezüglich einer Basis von diese lineare Abbildung durch die Matrix gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich
Zum Koeffizienten leisten(inder Leibniz-Formelzur Berechnung der Determinante)nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen -mal die Variable vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation(also der Diagonalen)der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich , so dass alsogilt. Setzt man in der obigen Gleichung,so ergibt sich, dass die Determinante der negierten Matrix ist, worausfolgt.
Weitere Beschreibungen des Minimalpolynoms und der Norm und der Spur finden sich inKorollar 13.9undKorollar 13.10.
- Diskriminante
Die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichungüber einem Körper hängt im Wesentlichen davon ab, ob die „Diskriminante“ eine Quadratwurzel in besitzt. Für die Lösungen einer kubischen Gleichungspielt nachSatz 1.2der Ausdruck (bzw. das -fache davon)eine wichtige Rolle. Beide Terme fallen unter das allgemeine Konzept einer Diskriminante, das wir kurz vorstellen.
Definition
Es seieineendliche KörpererweiterungvomGrad und seien Elemente in . Dann wird die Diskriminante von durch
definiert.
Die Produkte, ,sind dabei Elemente in , von denen man jeweils die Spurnimmt, die in liegt. Man erhält also eine quadratische -Matrix über . Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein.
Beispiel
Wir betrachten eine quadratische Gleichungund (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist)die zugehörigequadratische Körpererweiterung.Wir bestimmen dieDiskriminantedieser Erweiterung zur Basis . Wir müssen also dieSpurender Elemente bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind
und ihre Spuren sind und .Somit ist die Diskriminante gleich
Beispiel
Wir betrachten die kubische Gleichung
und(unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist)die zugehörigekubische Körpererweiterung.Wir bestimmen dieDiskriminantedieser Erweiterung zur Basis . Die Matrix zu ist , die Matrix zu ist , die Matrix zuist , die Matrix zu ist . Die Diskriminanteist daher die Determinante der Matrix
also gleich
Dies ist die Zahl ausSatz 1.2.
Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.
Lemma
Es seieineendliche KörpererweiterungvomGrad und seien und -Basenvon . Der Basiswechsel werde durchmit der Übergangsmatrixbeschrieben. Dann gilt für dieDiskriminantendie Beziehung
Beweis
Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen.Damit gilt
Wir schreibenund .Wegender -Linearität der Spurgilt
Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen, undals
und die Behauptung folgt dann aus dem DeterminantenmultiplikationssatzundSatz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
Satz
Es sei ein Körperder Charakteristik und seieineendliche KörpererweiterungvomGrad und sei eine-Basisvon . Dann ist
Beweis
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