Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 23

Bestimme dasMinimalpolynomder komplexen Zahl${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

Bestimme dasMinimalpolynomder komplexen Zahl${\displaystyle {}{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterung vomGrad${\displaystyle {}1}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}L=K}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterung.Zeige${\displaystyle {}{\mathbb {C} }=L}$.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom. Zeige: ${\displaystyle {}P}$ besitzt genau dann eine Nullstelle in ${\displaystyle {}L}$, wenn es einen${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus${\displaystyle {}K[X]/(P)\rightarrow L}$gibt.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineKörpererweiterungund sei${\displaystyle {}f\in L}$ein Element. Zeige: ${\displaystyle {}f}$ ist genau dannalgebraischüber ${\displaystyle {}K}$, wenn ${\displaystyle {}K[f]=K(f)}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Körpererweiterung und ${\displaystyle {}K\subseteq K'\subseteq L}$ ein Zwischenkörper. Es sei ${\displaystyle {}f\in L}$algebraischüber ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}f}$ auch algebraisch über ${\displaystyle {}K'}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }}$, ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {R} }$,einealgebraische Zahl.Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl ${\displaystyle {}{\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }}$ sowie der Real- und der Imaginärteil von ${\displaystyle {}z}$ algebraisch sind. Man bestimme denGradderKörpererweiterung

${\displaystyle {\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }.}$

Zeige, dass die Menge deralgebraischen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {A} }$ keineendliche Körpererweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.

a) Man gebe eine Gerade ${\displaystyle {}G}$ in der Ebene ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}={\mathbb {C} }}$ an, die keine algebraische Zahl enthält.

b) Man gebe einen Kreis ${\displaystyle {}K}$ in der Ebene ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}={\mathbb {C} }}$ an, der keine algebraische Zahl enthält.

Bestimme das Inverse von ${\displaystyle {}2x^{2}+3x-1}$ im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)}$(${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei ${\displaystyle {}L=K(X)}$ derrationale Funktionenkörper über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass es zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ einenRinghomomorphismus${\displaystyle {}\varphi \colon L\rightarrow L}$derart gibt, dass ${\displaystyle {}L\cong \varphi (L)\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterungvom Grad${\displaystyle {}n}$ ist.

Bestimme dasMinimalpolynomder komplexen Zahl${\displaystyle {}2{\mathrm {i} }-3{\sqrt {3}}}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahlund${\displaystyle {}q=p^{n}}$, ${\displaystyle {}n\geq 2}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{n})}$ keinVektorraumüber ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ sein kann.