Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 23

Die Einsetzung ${\displaystyle {}X\mapsto f}$ ergibt nachSatz 13.7den kanonischen ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle K[X]\longrightarrow L,\,X\longmapsto f.}$

Das Bild davon ist genau ${\displaystyle {}K[f]}$, so dass ein surjektiver ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle K[X]\longrightarrow K[f]}$

vorliegt. Daher gibt es nachKorollar 14.5eineIsomorphiezwischen ${\displaystyle {}K[f]}$ und demRestklassenringvon ${\displaystyle {}K[X]}$ modulo dem Kern der Abbildung. Der Kern ist aber nachLemma 22.11das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.

1. Es sei${\displaystyle {}P=P_{1}P_{2}}$eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in ${\displaystyle {}L}$ die Beziehung

   ${\displaystyle {}0=P(f)=P_{1}(f)P_{2}(f)\,.}$

   Da ${\displaystyle {}L}$ ein Körper ist, muss ein Faktor ${\displaystyle {}0}$ sein, sagen wir${\displaystyle {}P_{1}(f)=0}$.Da aber ${\displaystyle {}P}$ unter allen Polynomen ${\displaystyle {}\neq 0}$, die ${\displaystyle {}f}$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}P_{1}}$den gleichen Grad besitzen und folglich muss ${\displaystyle {}P_{2}}$ konstant(${\displaystyle {}\neq 0}$),also eineEinheitsein.

2. Wegen${\displaystyle {}Q(f)=0}$ist ${\displaystyle {}Q}$ aufgrund vonLemma 22.11ein Vielfaches des Minimalpolynoms ${\displaystyle {}P}$, sagen wir${\displaystyle {}Q=GP}$.Da ${\displaystyle {}Q}$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da ${\displaystyle {}P}$ zumindest den Grad ${\displaystyle {}1}$ besitzt, muss ${\displaystyle {}G}$ konstant sein. Da schließlichsowohl ${\displaystyle {}P}$ als auch ${\displaystyle {}Q}$normiert sind, ist${\displaystyle {}P=Q}$.

${\displaystyle {}(1)\Rightarrow (2)}$. Das ist trivial, da man ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert.${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (3)}$. Nach (2) gibt es ein Polynom${\displaystyle {}P\in K[X]}$, ${\displaystyle {}P\neq 0}$,mit${\displaystyle {}P(f)=0}$.Sei${\displaystyle {}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}}$.Dann ist

${\displaystyle {}P(f)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0\,}$

eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen.${\displaystyle {}(3)\Rightarrow (1)}$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente ${\displaystyle {}c_{i}}$ gibt, die nicht alle ${\displaystyle {}0}$ sind mit${\displaystyle {}\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0}$.Dies ist aber die Einsetzung ${\displaystyle {}P(f)}$ für das Polynom${\displaystyle {}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}}$,und dieses ist nicht das Nullpolynom.${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (4)}$. Sei

${\displaystyle {}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\,}$

ein normiertes Polynom mit${\displaystyle {}P(f)=0}$,also mit

${\displaystyle {}c_{n}=1\,.}$

Dann kann man umstellen

${\displaystyle {}f^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}f^{i}\,}$

D.h. ${\displaystyle {}f^{n}}$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von ${\displaystyle {}f}$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen${\displaystyle {}f^{i}}$, ${\displaystyle {}i\leq n-1}$,ausdrücken kann.${\displaystyle {}(4)\Rightarrow (5)}$. Das ist trivial.${\displaystyle {}(5)\Rightarrow (3)}$. Wenn ${\displaystyle {}f}$ in einer endlichdimensionalen Algebra${\displaystyle {}M\subseteq L}$liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von ${\displaystyle {}f}$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.

NachSatz 23.1liegt eine${\displaystyle {}K}$-Algebraisomorphie${\displaystyle {}K[X]/(P)\cong K[f]}$vor, wobei ${\displaystyle {}P}$ dasMinimalpolynomzu ${\displaystyle {}f}$ ist. NachLemma 23.2  (2)ist ${\displaystyle {}P}$ irreduzibel,so dass wegenSatz 15.1der Restklassenring ${\displaystyle {}K[f]}$ ein Körper ist.

Die Inklusion${\displaystyle {}K[f]\subseteq K(f)}$gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring ${\displaystyle {}K[f]}$ aufgrund vonSatz 23.4schon ein Körper.