Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 22

Berechne im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]}$ das Produkt

${\displaystyle (-2+{\sqrt {7}})\cdot (4-{\sqrt {7}}).}$

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]}$ das Inverse von ${\displaystyle {}2+5{\sqrt {7}}}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+4X^{2}-7)}$ das Inversevon ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}x+5}$(${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Bestimme das Inversevon

${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {10}}}$

imKörper${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}]}$.

Bestimme den Grad der Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }}$.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${\displaystyle {}L}$ ein${\displaystyle {}K}$-Vektorraumist.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineKörpererweiterungund sei${\displaystyle {}f\in L}$ein Element. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}K(f)}$ derQuotientenkörpervon ${\displaystyle {}K[f]}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}K}$ und ${\displaystyle {}L}$ Körper, sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}A}$, ${\displaystyle {}K\subseteq A\subseteq L}$, ein Zwischenring. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}A}$ ebenfalls ein Körper ist.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung und ${\displaystyle {}f\in L}$ ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie

${\displaystyle K(X)\longrightarrow K(f)}$

Es seien ${\displaystyle {}p}$ und ${\displaystyle {}q}$zwei verschiedenePrimzahlen.Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]}$ einUnterkörpervon ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ ist, der über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ denGradvier besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein endlicher Körper.Zeige, dass die Anzahl der Elemente von ${\displaystyle {}K}$ die Potenz einer Primzahlist.

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ eine Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$ gibt.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {11}}]}$ das Inverse von ${\displaystyle {}3+5{\sqrt {11}}}$.

Betrachte denKörper${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)=\{0,1,2,...,12\}}$ mit ${\displaystyle {}13}$ Elementen.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}5}$ kein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$ ist und folgere, dass

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-5)=:\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}$

   ein Körper ist.
2. Betrachte diequadratische Körpererweiterung

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(13)\subset \mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}$

   und berechne

   ${\displaystyle (2+3{\sqrt {5}})(1+11{\sqrt {5}})(10+7{\sqrt {5}})}$

3. Finde das Inverse zu ${\displaystyle {}7+3{\sqrt {5}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}$.
4. Zeige, dass ${\displaystyle {}-5}$ kein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$ ist, dafür aber in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}$.

Bestimme das Inversevon

${\displaystyle 2+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}+3{\sqrt {35}}}$

imKörper${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]}$.

Führe in ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}])[X]}$ dieDivision mit Rest„${\displaystyle {}P}$ durch ${\displaystyle {}T}$“ für die beiden Polynome${\displaystyle {}P=3X^{3}-(2+{\sqrt {3}})X^{2}+5{\sqrt {3}}X+1+2{\sqrt {3}}}$ und ${\displaystyle {}T={\sqrt {3}}X^{2}-X+2+7{\sqrt {3}}}$ durch.

Bestimme das Minimalpolynomvon

${\displaystyle {\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.