Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 26

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereichund${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ein Idealin ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass es ein Element${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ gilt:

${\displaystyle f\in {\mathfrak {m}}{\text{ genau dann, wenn }}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereichund${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ein Idealin ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass es eine natürliche Zahl${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} }$derart gibt, dass dasinverse Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{-1}}$ zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{m}}$ äquivalent ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich.Zeige, dass es ein${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$,mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme${\displaystyle {}R_{f}}$ faktoriellist.

Es sei${\displaystyle {}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}$dasSpektrumeinesZahlbereiches.Zeige, dass jedeoffene Mengevon ${\displaystyle {}X}$ von der Form ${\displaystyle {}D(f)}$ mit einem${\displaystyle {}f\in R}$ ist.

Zeige mitKorollar 26.11,dass der Ring der Gaußschen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ faktoriellist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{13}}$ der quadratische Zahlbereichzu ${\displaystyle {}D=13}$. Zeige mittelsKorollar 26.11,dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriellist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-43}}$ der quadratische Zahlbereichzu ${\displaystyle {}D=-43}$. Zeige mittels Korollar 26.11,dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriellist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-67}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-67}$. Zeige mittels Korollar 26.11, dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriell ist.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ quadratfrei und sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.Ferner sei ${\displaystyle {}D}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}5}$ und ${\displaystyle {}D=2,3\mod 4}$. Zeige: ${\displaystyle {}A_{D}}$ ist nicht faktoriell.

Zeige, dass der siebteKreisteilungsring${\displaystyle {}R_{7}}$ faktoriellist.

Zeige, dass der achteKreisteilungsring${\displaystyle {}R_{8}=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+1)}$faktoriellist.