Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 27
- Aufgaben
Aufgabe
Es sei einkommutativer Ring und einnilpotentes Element.Zeige, dass eineEinheitist.
Aufgabe
a) Es sei ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.
b) Es sei ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.
c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.
Aufgabe
Bestimme die zweitenEinheitswurzelnin .
Zu einerkommutativen Gruppe nennt man dieTorsionsuntergruppe von .
Einekommutative Gruppe heißttorsionsfrei, wenn für jedes Element, , undgilt.
Aufgabe
Zeige, dass dieTorsionsuntergruppeeinerkommutativen Gruppe in der Tat eineUntergruppeist.
Aufgabe
Es seidieTorsionsuntergruppeeinerkommutativen Gruppe. Zeige, dass dieRestklassengruppe torsionsfreiist.
Aufgabe
Es sei einkommutativer Ring.Zeige, dass dieEinheitswurzelnin dieTorsionsuntergruppederEinheitengruppeist.
Aufgabe *
Zeige, dass es in derRestklassengruppe zu jedem Elemente gibt, derenOrdnunggleich ist.
Aufgabe
Zeige, dass dieRestklassengruppe unendlich ist und jedes Element eine endlicheOrdnungbesitzt.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei
der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von.
Aufgabe
Es sei
der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen und nichtisomorphsind.
Aufgabe *
Bestimme für den siebtenKreisteilungsringdas Minimalpolynomfür.Ist eineEinheit?
Aufgabe
Bestimme für den neuntenKreisteilungsringdas Minimalpolynomfür.Ist eineEinheit?
Aufgabe *
Bestimme für den elftenKreisteilungsringdas Minimalpolynomfür.Ist eineEinheit?
Aufgabe
Bestimme für dieKreisteilungsringemit,ob das Element eine Einheitist oder nicht.
Aufgabe
Bestimme dieEinheitenim Ring .
Aufgabe
Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei (zu )die Gruppe der -tenEinheitswurzelnin . Zeige, dass es zu jedem einennatürlichenGruppenhomomorphismus
gibt.
Aufgabe
Es seieine endlicheGaloiserweiterungund sei derKerndesGruppenhomomorphismus
ausLemma 27.8.Zeige,wobei die Anzahl der Einheitswurzeln in bezeichnet.
Aufgabe
Man gebe ein Beispiel für eine endlicheGaloiserweiterungderart, dass derGruppenhomomorphismus
ausLemma 27.8nicht injektivist.
Aufgabe
Betrachte dieendlichen Körpererweiterungen
Zeige, dass derGruppenhomomorphismus
ausLemma 27.8nicht surjektivist.
Aufgabe
Es seieineendliche Körpererweiterungund der zugehörigeZahlbereich.Zeige, dass es einennatürlichenGruppenhomomorphismus
gibt.
Aufgabe
Es seieineendliche Körpererweiterungund der zugehörigeZahlbereich.Zeige, dass esGruppenhomomorphismen
derart gibt, dass die Gesamtabbildung der Homomorphismus ausLemma 27.8ist.
Aufgabe
Es seieineendliche Galoiserweiterungmit zugehörigem Zahlbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
- DieEinheitenbilden einAlgebraerzeugendensystemvon über .
- Für jeden Zahlbereichist dieEinheitengruppe eine echte Teilmenge von .
- Die Wirkung derGaloisgruppeauf isttreu.
Aufgabe *
Man gebe ein Beispiel von zweiZahlbereichen und ,die als Ringe nicht isomorphsind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen und als Gruppenisomorphals auch die multiplikativen Strukturen und als Monoide isomorph sind.
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