Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 25

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichohnereelle Einbettung.Zeige, dass die Normeines jeden Elementes${\displaystyle {}x\in R}$, ${\displaystyle {}x\neq 0}$,positiv ist.

Bestimme die Anzahl der reellen und der komplexen Einbettungenvon

${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}\,.}$

Es sei${\displaystyle {}P\in \mathbb {Z} [X]}$ein normiertes irreduzibles Polynom vom Grad ${\displaystyle {}d}$ und${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} [X]/(P)}$.Woran erkennt man amGraphenvon ${\displaystyle {}P}$ die Anzahl der reellen Einbettungenund die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen von ${\displaystyle {}K}$?

Bestimme für ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ für dieGanzheitsbasis${\displaystyle {}1}$ (und die Ganzheitsbasis ${\displaystyle {}-1}$)diekomplexe Ganzheitsmatrixund diereelle Ganzheitsmatrix.

Bestimme für die Ganzheitsbasis${\displaystyle {}1,{\mathrm {i} }}$ von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ diekomplexe Ganzheitsmatrixund die reelle Ganzheitsmatrix.Bestimme den Flächeninhalt derGrundmaschedes zugehörigenGitters.

Bestimme diereelle GanzheitsmatrixzurGanzheitsbasis${\displaystyle {}1,{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt[{3}]{4}}}$ des kubischen Zahlbereiches${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]}$.

Bestimme diereelle GanzheitsmatrixzurGanzheitsbasis${\displaystyle {}\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3},\zeta ^{4}}$ des fünften Kreisteilungsringes,wobei${\displaystyle {}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{5}}=\cos {\frac {2\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi }{5}}}$die primitive fünfte Einheitswurzel ist.

Bestimme diereelle GanzheitsmatrixzurGanzheitsbasis${\displaystyle {}1,X,X^{2},X^{3}}$ des achten Kreisteilungsringes

${\displaystyle {}R_{8}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}\,.}$

Verwende, dass die komplexen Einbettungen dadurch gegeben sind, dass ${\displaystyle {}X}$ auf eine primitive achte Einheitswurzel abgebildet wird, und dass diese die Gestalt${\displaystyle {}\zeta =\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\mathrm {i} }}$besitzen.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$eineGaloiserweiterungvom Grad${\displaystyle {}n}$. Zeige, dass für die Anzahl ${\displaystyle {}r}$ derreellen Einbettungen${\displaystyle {}r=0}$oder${\displaystyle {}r=n}$gilt.

Bestimme sämtliche quadratischen Zahlbereiche${\displaystyle {}R}$ mit der Eigenschaft, dass der Flächeninhalt der Grundmaschedes zugehörigen Gitters${\displaystyle {}\Gamma _{R}}$ gleich ${\displaystyle {}1}$ ist.

Studiere den Beweis zuSatz 25.6am Beispiel von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$

ÜberprüfeSatz 25.6am Beispiel des kubischen Zahlbereiches${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]}$ (sieheLemma 16.5zur Berechnung der Diskriminante undAufgabe 25.6zur Bestimmung der reellen Ganzheitsmatrix).