Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 26

Es genügt zu zeigen, dass es zu einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ nur endlich viele Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ in ${\displaystyle {}R}$ mit${\displaystyle {}N({\mathfrak {a}})=n}$gibt. Es sei also ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein solches Ideal. Dann ist${\displaystyle {}n\in {\mathfrak {a}}}$nach Lemma 10.5und damit entspricht ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ einem Ideal aus ${\displaystyle {}R/(n)}$. Dieser Ring ist aber nachSatz 9.14endlich und besitzt somit überhaupt nur endlich viele Ideale.

Wir nummerieren die Einbettungen mit ${\displaystyle {}1,\ldots ,r}$ für die reellen und ${\displaystyle {}r+1,r+2,\ldots ,r+2s-1,r+2s}$ durch, wobei die konjugiert-komplexen Einbettungen nebeneinander stehen. Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}M={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+2s})\in \mathbb {R} ^{r+2s}\mid \vert {x_{j}}\vert <d_{j}{\text{ für }}j=1,\ldots ,r,\,x_{r+j}^{2}+x_{r+j+1}^{2}<d_{r+j}^{2}{\text{ für }}j=1,3,\ldots ,2s-1\right\}}\,.}$

Dies ist eine Produktmenge aus ${\displaystyle {}r}$ Intervallen der Länge ${\displaystyle {}2d_{j}}$ und ${\displaystyle {}s}$ Kreisscheiben mit den Radien ${\displaystyle {}d_{j}}$. Diese Menge ist offensichtlich zentralsymmetrischund konvexist. Die Menge ist so nicht kompakt. Wir können aber jedes ${\displaystyle {}r_{j}}$ derart verkleinern, dass die Bedingung nach wie vor erfüllt ist und dann in der entsprechenden Menge ${\displaystyle {}\leq }$ statt ${\displaystyle {}<}$ schreiben. Da die Menge ein Produkt aus Intervallen und Kreisen ist, ist ihr Volumen gleich

${\displaystyle {}2^{r}\prod _{j=1}^{r}d_{j}\cdot \pi ^{s}\prod _{j=r+1}^{r+2s}d_{j}=2^{r}\pi ^{s}\prod _{j=1}^{n}d_{j}\,}$

(man beachte, dass der Flächeninhalt des Kreises durch das zweifache Vorkommen der höheren ${\displaystyle {}d_{j}}$ berücksichtigt wird).Nach Voraussetzung und nachSatz 25.9ist dieses Volumen größer als

${\displaystyle {}{\begin{aligned}2^{r}\pi ^{s}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})&=2^{r+s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})\\&=2^{r+s}2^{s}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})\\&=2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}}),\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle {}{\mathfrak {N}}}$ die Grundmasche des Gitters zum Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ unter der reellen Gesamteinbettung bezeichnet. Nachdem Gitterpunktsatz von Minkowskigibt es einen Gitterpunkt ${\displaystyle {}\neq 0}$, der in ${\displaystyle {}M}$ liegt. D.h. es gibt ein${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$mit${\displaystyle {}\vert {\tau _{j}(f)}\vert <d_{j}}$für alle ${\displaystyle {}j}$.

Dies folgt direkt ausLemma 26.2,angewendet auf das Einheitsideal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=R}$.

Für jede Wahl von positiven reellen Zahlen ${\displaystyle {}d_{\tau }}$ (wobei ${\displaystyle {}\tau }$ die komplexen Einbettungen durchläuft, und wobei die Paarbedingung für nichtreelles ${\displaystyle {}\tau }$ gelte)mit

${\displaystyle {}\prod _{\tau }d_{\tau }>\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})\,}$

gibt es nachLemma 26.2ein${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$,${\displaystyle {}f\neq 0}$,mit

${\displaystyle {}\vert {\tau (f)}\vert <d_{\tau }\,}$

für jede komplexe Einbettung ${\displaystyle {}\tau }$. NachLemma 7.14ist somit

${\displaystyle {}\vert {N(f)}\vert =\prod _{\tau }\vert {\tau (f)}\vert <\prod _{\tau }d_{\tau }\,.}$

Würde es kein ${\displaystyle {}f}$ mit Betragsnorm unterhalb(einschließlich)der angegebenen Grenze geben, könnte man daraus direkt einen Widerspruch produzieren.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {c}}}$ die Idealklasse. Die inverse Idealklasse ${\displaystyle {}{\mathfrak {c}}^{-1}}$ sei durch das Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}\subseteq R}$repräsentiert, sieheLemma 13.5.NachKorollar 26.4gibt es ein${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {b}}}$mit

${\displaystyle {}N(f)\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}N({\mathfrak {b}})\,.}$

Dann ist ${\displaystyle {}f\cdot {\mathfrak {b}}^{-1}}$ ein Ideal, da ja ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}^{-1}}$ alle Elemente aus ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}}$ nach ${\displaystyle {}R}$ multipliziert, und das ${\displaystyle {}{\mathfrak {c}}}$ repräsentiert. NachKorollar 12.14ist

${\displaystyle {}N(f\cdot {\mathfrak {b}}^{-1})=N(f)N({\mathfrak {b}})^{-1}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}N({\mathfrak {b}})N({\mathfrak {b}})^{-1}=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,.}$

NachLemma 26.5wird jede Klasse in der Klassengruppe durch ein Ideal mit einer Norm repräsentiert, die durch die dort angegebene Schranke beschränkt ist. D.h., dass die Ideale mit einer Norm unterhalb dieser Schranke alle Klassen repräsentieren. NachLemma 26.1gibt es aber überhaupt nur endlich viele Ideale mit einer Norm unterhalb einer gegebenen Schranke.

Für das Nullideal ist die Aussage richtig, sei also ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ von ${\displaystyle {}0}$ verschieden. Die zugehörige Idealklasse ${\displaystyle {}[{\mathfrak {a}}]}$ besitzt aufgrund von Satz 26.6in der Idealklassengruppe endliche Ordnung, d.h., dass für ein${\displaystyle {}n\geq 1}$

${\displaystyle {}[{\mathfrak {a}}^{n}]=[{\mathfrak {a}}]^{n}=0\,}$

ist. Dies bedeutet aber gerade, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{n}}$ ein Hauptideal ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal ${\displaystyle {}\neq 0}$ unterhalb der angegebenen Normschranke. NachSatz 12.2ist${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}}$mit Primidealen${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}}$, und wegenKorollar 12.14sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Hauptideal. Da nach Lemma 26.5jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repräsentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repräsentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach Satz 14.2der Ring ${\displaystyle {}R}$ faktoriell.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primidealderart, dass ${\displaystyle {}N({\mathfrak {p}})}$ unterhalb der angegebenen Schranke liegt, und es sei${\displaystyle {}\mathbb {Z} p={\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} }$ mit einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$. Nach Korollar 8.8ist die Norm von ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ gleich ${\displaystyle {}p^{i}}$ mit${\displaystyle {}i\leq n}$,so dass auch ${\displaystyle {}p}$ unterhalb der Schranke ist und somit nach Voraussetzung eine Primfaktorzerlegung für ${\displaystyle {}p}$ besteht. Daraus folgt aber, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Hauptideal ist. Aus Korollar 26.9folgt die Behauptung.