椭圆和它的某些数学性质 根據該定義，可以用手繪橢圓：先準備一條線，將這條線的兩端各綁在固定的點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點，且距離小於線長）；取一支筆，用筆尖将線繃緊，這時候兩個點和筆就形成一個三角形（的兩邊）；然後左右移動筆尖拉住線開始作圖，持續地使線繃緊，最後就可以完成一個橢圓圖形。
由於兩個固定點之間的距離也是一定的，所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀，然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。
概述
一個平面切截一個圓錐面得到的橢圓。 椭圆是一种圆锥曲线 ：如果一个平面切截一个圆锥 面，且不与它的底面相交，也不与它的底面平行，则圆锥和平面交截线是个椭圆。
在代数上说 ，椭圆是在笛卡尔平面 上如下形式的方程所定义的曲线
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,} 使得 B 2 < 4 A C {\displaystyle B^{2}<4AC\,}
穿过两焦点并终止于椭圆上的线段 AB叫做长轴 。长轴是通过连接椭圆上的两个点所能获得的最长线段。穿过中心（两焦点的连线的中点）垂直于长轴并且终止于椭圆的线段CD叫做短轴 。半長軸 a ）是长轴的一半：从中心通过一个焦点到椭圆的边缘的线段。半短軸 b ）是短轴的一半。
如果两个焦点重合，则这个椭圆是圆 ；换句话说，圆是离心率 为零的椭圆。
中心位于原点 的椭圆 A x 2 + B x y + C y 2 = 1 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1\,} 单位圆 在关联于对称矩阵 A ′ = [ A B / 2 B / 2 C ] = P D P T {\displaystyle A^{\prime }={\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix}}=PDP^{T}\,} 线性映射 下的图像，这里的 D 是带有 A ′ {\displaystyle A^{\prime }} 特征值 的对角矩阵 ，二者沿着主对角线都是正实数的，而 P 是拥有 A ′ {\displaystyle A^{\prime }} 特征向量 作为纵列的实数的酉矩阵 。椭圆的长短轴分别沿着 A ′ {\displaystyle A^{\prime }} 半长轴 和半短轴 的长度的平方的倒数 。
椭圆可以通过对一个圆的所有点的 x 坐标乘以一个常数而不改变 y 坐标来生成。
离心率
形狀母數：C：中心 F 1 ：焦點一；F 2 ：焦點二；a ：半长轴；b ：半短轴；c ：半焦距；p ：半正焦弦（通常標示作 ℓ {\displaystyle \ell } 椭圆的形状可以用叫做椭圆的离心率 的一个数来表达，习惯上指示为 ε {\displaystyle \varepsilon \,} 圆 。
对于有半长轴 a 和半短轴 b 的椭圆，离心率是
ε = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} 离心率越大，a 与 b 的比率 就越大，因此椭圆被更加拉长。
半焦距c 等于从中心到任一焦点的距离，
c = a 2 − b 2 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} 则
ε = c a {\displaystyle \varepsilon ={\frac {c}{a}}} 半焦距 c 也叫做椭圆的线性离心率 。在两个焦点间的距离是 2c = 2a ε。
方程
在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 t 是藍線對於 X-軸的角度。 中心位于点 ( h , k ) {\displaystyle (h,k)} x 轴的椭圆由如下方程指定
( x − h ) 2 a 2 + ( y − k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1} 这个椭圆可以参数化表达为
x = h + a cos t , {\displaystyle x=h+a\,\cos t,\,\!} y = k + b sin t {\displaystyle y=k+b\,\sin t\,\!} 这里的 t {\displaystyle t} − π ≤ t ≤ π {\displaystyle -\pi \leq t\leq \pi \,\!}
如果 h = 0 {\displaystyle h=0} k = 0 {\displaystyle k=0}
x = a cos t , {\displaystyle x=a\,\cos t,\,\!} y = b sin t {\displaystyle y=b\,\sin t\,\!} 这个参数方程揭示了两个方向相互垂直的简谐运动(表现为具有周期性的简谐波)合成了闭合的椭圆形周期性运动（表现为轨迹是椭圆）。
椭圆方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)} y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)} 图像 范围 − a ≤ x ≤ a , − b ≤ y ≤ b {\displaystyle -a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b} − a ≤ y ≤ a , − b ≤ x ≤ b {\displaystyle -a\leq y\leq a,-b\leq x\leq b}
相對於中心的極坐標形式 用极坐标可表达为
C P ¯ = r ′ = a b a 2 sin 2 ψ + b 2 cos 2 ψ = b 1 − ε 2 cos 2 ψ {\displaystyle {\overline {CP}}=r'={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\psi +b^{2}\cos ^{2}\psi }}}={\frac {b}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\psi }}}} 这里的 ε {\displaystyle \varepsilon } ψ {\displaystyle \psi } C B ¯ {\displaystyle {\overline {CB}}} C P ¯ {\displaystyle {\overline {CP}}}
相對於焦點的極坐標形式 橢圓的極坐標，原點在 F1 有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程是
F 1 P ¯ = r = a ⋅ ( 1 − ε 2 ) 1 − ε ⋅ cos θ {\displaystyle {\overline {F_{1}P}}=r={\frac {a\cdot (1-\varepsilon ^{2})}{1-\varepsilon \cdot \cos \theta }}} 这里的 θ {\displaystyle \theta } F 1 B ¯ {\displaystyle {\overline {F_{1}B}}} F 1 P ¯ {\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}
半正焦弦和极坐标 椭圆的半正焦弦(通常指示为 ℓ {\displaystyle \ell \,\!} a {\displaystyle a\,\!} b {\displaystyle b\,\!} a ℓ = b 2 {\displaystyle a\ell =b^{2}\,\!} ℓ = a ⋅ ( 1 − ε 2 ) {\displaystyle \ell =a\cdot (1-\varepsilon ^{2})\,\!}
椭圆，使用半正焦弦展示 在极坐标 中，一个焦点在原点而另一个焦点在负 x 轴上的椭圆给出自方程
r ⋅ ( 1 + ε ⋅ cos θ ) = ℓ {\displaystyle r\cdot (1+\varepsilon \cdot \cos \theta )=\ell \,\!} 椭圆可以被看作是圆的投影：在与水平面有角度 φ 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin φ 的椭圆，假定 φ 不是 90°。
橢圓（用紅色繪制）可以表達為内旋轮线 在 R=2r 時的特殊情況。 面积和周长
椭圆所包围的面积是 π a b {\displaystyle \pi ab\,} a {\displaystyle a\,} b {\displaystyle b\,} a = b {\displaystyle a=b\,} π a 2 {\displaystyle \pi a^{2}\,}
椭圆的周长是 4 a E ( c a ) {\displaystyle 4aE({\frac {c}{a}})} E {\displaystyle E\,} 椭圆积分 。
周长为： C = 4 a ∫ 0 π 2 1 − ( c a ) 2 sin 2 θ d θ {\displaystyle C=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}\ {\rm {d}}\theta \!} C = 4 a ∫ 0 1 1 − ( c a ) 2 t 2 1 − t 2 d t . {\displaystyle C=4a\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ {\rm {d}}t.\!}
精确的无穷级数 为：
C = 2 π a [ 1 − ( 1 2 ) 2 c 2 a 2 − ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 c 4 3 a 4 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) 2 c 6 5 a 6 − … ] {\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}{\frac {c^{2}}{a^{2}}}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{c^{4} \over {3a^{4}}}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{c^{6} \over {5a^{6}}}-\dots }\right]\!\,} 或：
C = − 2 π a ∑ n = 0 ∞ { [ ∏ m = 1 n ( 2 m − 1 2 m ) ] 2 c 2 n a 2 n ( 2 n − 1 ) } {\displaystyle C=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace \left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{c^{2n} \over {{a^{2n}}\left(2n-1\right)}}\right\rbrace }} 拉马努金 给出一较为接近的式子：
C ≈ π [ 3 ( a + b ) − ( 3 a + b ) ( a + 3 b ) ] {\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,} 它还可以写为：
C ≈ 3 a π [ 1 + 1 − ( c a ) 2 ] − a π [ 3 + 1 − ( c a ) 2 ] [ 1 + 3 1 − ( c a ) 2 ] {\displaystyle C\approx 3a\pi \left[1+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]-a\pi {\sqrt {\left[3+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]\left[1+3{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]}}\!\,} 还有一条近似很高的公式：
C ≈ π ( a + b ) [ 1 + 3 ( a − b a + b ) 2 10 + 4 − 3 ( a − b a + b ) 2 ] [ 1 + ( 22 7 π − 1 ) ( a − b a ) 33 ( a − b a ) 697 1000 ] {\displaystyle C\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]\left[1+\left({\frac {22}{7\pi }}-1\right)\left({\frac {a-b}{a}}\right)^{33}{\sqrt[{1000}]{\left({\frac {a-b}{a}}\right)^{697}}}\right]\!\,} 标准方程的推导
如果在一个平面内一个动点 到两个定点 的距离 的和等于定长，那么这个动点的轨迹 叫做椭圆。 假设（注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便）动点为 P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)\,} F 1 ( − c , 0 ) {\displaystyle F_{1}(-c,0)\,} F 2 ( c , 0 ) {\displaystyle F_{2}(c,0)\,} P {\displaystyle P}
| P F 1 | + | P F 2 | = 2 a ( a > 0 ) {\displaystyle |PF_{1}|+|PF_{2}|=2a(a>0)\,} 2 a {\displaystyle 2a\,} 用两点的距离公式可得： | P F 1 | = ( x + c ) 2 + y 2 {\displaystyle |PF_{1}|={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\,} | P F 2 | = ( x − c ) 2 + y 2 {\displaystyle |PF_{2}|={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}\,}
( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a {\displaystyle {\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}=2a\,} 上式左方分子凑出平方差，并化简，得：
( x + c ) 2 + y 2 − [ ( x − c ) 2 + y 2 ] ( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a {\displaystyle {\frac {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}-\left[\left(x-c\right)^{2}+y^{2}\right]}{{\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}}}=2a\,} 分子大部分相消，分母移项即得
( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2 x c a {\displaystyle {\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {2xc}{a}}\,} ①、②式相加并平方，整理得
x 2 ( a 2 − c 2 a 2 ) + y 2 = a 2 − c 2 {\displaystyle x^{2}\left({\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}\right)+y^{2}=a^{2}-c^{2}\,} 当 a > c {\displaystyle a>c\,} a 2 − c 2 = b 2 {\displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2}\,}
x 2 b 2 a 2 + y 2 = b 2 {\displaystyle x^{2}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=b^{2}\,} 因为 b 2 > 0 {\displaystyle b^{2}>0\,} b 2 {\displaystyle b^{2}\,}
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,} 则该方程即动点 P {\displaystyle P} 椭圆的标准方程 。
椭圆的图像如果在直角坐标系 中表示，那么上述定义中两个定点被定义在了x 轴。若将两个定点改在y 轴，可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程 ： y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)\,} 在方程中，所设的 2 a {\displaystyle 2a\,} 长轴 长， 2 b {\displaystyle 2b\,} 定点 称为焦点 ，那么 2 c {\displaystyle 2c\,} 焦距 。在假设的过程中，假设了 a > c {\displaystyle a>c\,} a = c {\displaystyle a=c\,} 线段 ；当 a < c {\displaystyle a a 2 − c 2 = b 2 {\displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2}\,} 通常认为圆 是椭圆的一种特殊情况。 椭圆的旋转和平移
漸開線及其導數 { x = a cos t + a b E ( t , a 2 − b 2 a ) sin t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t y = b sin t + b 2 E ( t , a 2 − b 2 a ) cos t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t {\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t+{\cfrac {abE\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}\!\,\\\\y=b\sin t+{\cfrac {b^{2}E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\cos t}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}\!\,\\\end{cases}}}
{ d x d t = [ b 2 sin 2 t − 2 b 2 sin t ⋅ E ( t , a 2 − b 2 a ) ] ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ) − a b ( a 2 − b 2 ) sin 2 t ⋅ E ( t , a 2 − b 2 a ) sin t 2 ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ) a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t − a sin t d y d t = [ b 3 sin 2 t − 2 a b 2 sin t ⋅ E ( t , a 2 − b 2 a ) ] ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ) − a b 2 ( a 2 − b 2 ) sin 2 t ⋅ E ( t , a 2 − b 2 a ) sin t 2 a ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ) a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t + b cos t {\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {{\rm {d}}x}{\rm {{d}t}}}={\cfrac {\left[b^{2}\sin 2t-2b^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{2\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}}-a\sin t\!\,\\\\{\cfrac {{\rm {d}}y}{\rm {{d}t}}}={\cfrac {\left[b^{3}\sin 2t-2ab^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{2a\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}}+b\cos t\!\,\\\end{cases}}} 有了橢圓漸開線的導數，可以計算它的長度，其中 E ( t , a 2 − b 2 a ) {\displaystyle E\left(t,{\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\,} 橢圓積分 。
参见 外部链接
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）。
，其中
为定长。
①
②
