證明

證明者，辨一命題之正誤也。 理之如水也，易為下。水下流則失勢，上流則理不容。充分者，勢高也，必要者，勢下也，充分必要者，勢等也。是故論理如治水。條件者，水之來也，結論者，流之往也，證明者，吾見其流而至也。 然數、理、法之證明各異耳。數者，始乎公理，以理則逐步論之。理者，按法則測之，若無反證，即證之耳……

數學需證明也，證明需有理也。因果關係，方方面面，皆步步細緻入微，毫無瑕疵矣。 原命題：三角中若兩腰等，則底線兩端之兩角等，而兩腰引出之其底之外兩角亦等。 解曰：三角甲乙丙其甲丙與甲乙兩腰等。題言甲丙乙與甲乙丙兩角等又自甲丙線任引之戊甲乙線任引至丁。其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等。……

艾氏論文逾千，冠絕數壇，惟以頁數論，尚次於歐拉。好言笑，謂上帝為大法西斯，不容《數學大典》傳世。《數學大典》者，艾氏杜撰神之書也，內有一切簡潔證明。若見簡潔證明，必曰：「大典之證明也！」 嘗與艾氏合著文者，人數五百，冠絕數壇。故有「艾狄胥數」，或簡曰「艾數」。艾氏之艾數為零；嘗與艾氏合著者，艾數為一；嘗與艾數……

及長，執二十世紀初數學之牛耳。貢獻良多，於數學，立不變量理論，究公理化幾何，善歐氏幾何，修希爾伯特空間；於物理，論量子力學，窮廣義相對論；於理則，奠證明論，辨元數學，揚康托爾之集論。 一九零零年，於巴黎國際數學家大會出希爾伯特廿三題，成當世數學之明燈。著作等身，有《希爾伯特全集》《幾何基礎》《撲素集合論》等。……

本初，不可定義之。然可生物質實體與精神實體也。 吾者思想也我思故我在，且思必生於至善，故必存其至善者。 倘非之，則吾無限，永遠，不變，全知，全能也。然吾之有闕，故必有無闕以伺服吾生。 幾何之觀念者，至少真確如幾何之證明者。 即吾所感所知于實體，皆生自益善者，尤以數理化，人之立行。 笛卡爾 本初 至善……

俄而任教哈勒大學，一八七四年，屬文論無窮集合之大小，曰代數數集可數，然實數集不可數，足證果有超越數也，此為超越數之存在證明。欲刊於《克列爾雜誌》，豈料克羅內克惡之，幾不可得，猶幸戴德金力保，由是事遂。此文乃集論之始，故得「集論之父」名也。……

Kronecker），德意志普魯士利格尼茨人也，一八二三年十二月七日生。十九世紀中，任教柏林大學，執德國數學之牛耳。善理則，世譽為直觀主義先驅；然直觀主義者，結構論也，謂存在證明不合理則。曰：「神作整數，他者皆人為耳。」，故分析、算術始於整數。由是，病超越數、無處可微連續函數，尤惡集論，致與門生康托爾反目。……

亞基米德，西西里敘拉古人，西元前二八七年生，為希臘裔數學家、物理學家、工程師、發明家、天文學家。尤知名於數學，以無窮小、窮舉法等，證明幾何理論，若圓面積、球表面積、球體積、拋物線面積等；又算圓週率值，發見雙曲螺線、言大數以冪等。蓋以數學用諸物理學者，其為先也。靜水力學、統計學、槓桿原理等，悉其所創。見諸實用，則成螺旋抽水機、滑輪等。……

依於任何經驗，其與思辨理性有別，後者關乎知識，前者關於意識，是為道德之本基，吾人之行動唯有合乎絕對命令，方為真正之道德行為。而慾實現此原則，即必須假定信仰上意識之自由，靈魂之不滅，上帝之實存，以保證善惡因果報應。此二者不可為理論證明，然則為實踐理性之「必要假設」。是為宗教之信仰，亦倫理之最終目的也。……

彼以一為素數，故有是言。此例今廢，因易為： 凡整數大於五皆為三素數和。 歐拉亦感興趣，覆以與前等價之猜想曰： 凡偶數大於二皆為二素數和。 歐拉以確實之定理稱之，然不能證明焉。 今稱此二猜想之先為哥德巴赫猜想之三數者，後為其二數者或強者，另命題曰： 凡奇數大於九皆為三奇素數之和， 稱之其弱者，皆未得證。然其弱者較強者更近解矣。……

n < 2 n {\displaystyle n<2^{n}} 」）。 觀乎自然數集，其幕集之基數同乎實數集。康托爾得對角線證明法，知實數集不可數。康氏取此法精粹，推而廣之，遂得證康托爾定理。 集甲之基數小于其幕集者，謂甲映射幕集，必非滿射也。（「 | A | < | P (……

凡簡歷必有： 自薦：若姓名、籍貫、家電、電郵者，皆是。 學歷：所肄之業，所習之術，學位之證，皆是。 履歷：奉職履歷，義工履歷，研習履歷，著文行世，皆是。 復加箋注若干，以下次第列之： 所通之言：萬國之言，凡有證明皆是。 無證之能：此謂雖未加譽而實有之特能也。 顯著成就。 家事內政：若夫妻協和，衣食居行，皆是。……

尋賜文科進士，充學部名詞館總纂。以碩學通儒征為資政院議員。三年，授海軍一等參謀官。復殫心著述，於學無所不窺，舉中外治術學理，靡不究權原委，抉其失得，證明而會通之。精歐西文字，所譯書以瑰辭達奧旨。 宣統三年，復為清廷國樂《鞏金甌》度詞。詞曰：「鞏金甌，承天幬，民物欣鳧藻，喜同袍，清時幸遭，真熙皞，帝國……

方之面積者，邊長平方也。 任一矩形之面積者，長寛之乘積也（據輔助定理三）。 證之思：此二正方，輔以同底等高之三角形，據其面積等於下二等面積之矩形也。 證明： 設 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 為一直角三角形，其 ∠ C A B {\displaystyle……

{\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}=1} ） 或可簡曰：有一線截一三角形之三邊，則其分點比依序相乘為一。 其證明有多法，聊舉一以示之。 連線甲丁、丙己。 由共邊定理可知，長乙丁比於長丁丙，等乎三角形乙丁己與丙丁己積之比；（ B D D C = | △ B D F……

{n}{m}}\log _{a}{b}} en=10nln⁡10{\displaystyle e^{n}=10^{\frac {n}{\ln 10}}} 對數製表公式之證明 求證ln⁡1=0,ln⁡n=ln⁡nn−1+ln⁡(n−1)=2∑k=1∞[12k−1(12n−1)2k−1]+ln⁡(n−1){\displaystyle……

零者，無也。古瑪雅人、印度人、中國人，最先用零者也。然印度、中國可有交流？未有定案也。零入歐洲，學者甚惡之，然商人喜其便利。 大食疇人Al-Karaji創歸納法，為證明之妙法。然此法當其可行？苦思良久，皮亞諾曰：「此自然數之性也，宜以公理視之。」遂有皮亞諾公理。 康托爾立集論，創基數，然不甚嚴謹。溤諾曼曰：「若以零……

CBE}{\sin \angle EBA}}\cdot {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB}}=1}） 其證明有多法，聊舉一以示之。 由共邊定理可知，長乙丁比於長丁丙，等乎三角形甲乙庚與甲丙庚積之比；（BDDC=|△ABO||△ACO|{\displaystyle……

氏在。卡氏重申前請，情至懇切，而塔氏終應許之。卡氏之好學不倦若此。 歷代以來，論及方程式之根，惟正根而已，無及負根者。卡氏則除負根外，更論及虛根。並證明虛根偶出，必不單獨；惟虛數爲何，卡氏未加闡述。而論其意義、首創虛數單位i=−1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}而廣其用者，功屬高斯。……

下。」（猶云「林女郎不覺輕撫蓓蕾。」直譯古語。） 至於動態助詞，「著」本附於持續，而五四後，其不必持續者亦綴之，而古文大抵可省。 魯迅《傷逝》「這就證明著我的工作的切實。」（猶云「吾工作之剴切，此實證之。」直譯古語。） 或有並用之情助，而間以「和、並、而且、並且」者，古語所無。……