實數

加減乘除之法，列在符號之前，被動之數，古稱實數，單稱實。 實數者，數線之數也。聚以成集，記曰R{\displaystyle \mathbb {R} }。其名由來，請見複數。 正數者，線段之長也。 求加減乘除，以尺規作圖法。 線段首尾相接，得二數之和。線段齊尾重疊，棄相交之處，得二數之差。……

超實數之名，有殊義，爰分立文章，以明其實。 超實數，實數之引申也。蓋涵無窮大、無窮小之數系也。今知有三： 一曰︰康威數，博弈之數也； 二曰︰非標準實數； 三曰︰Superreal number，似尚無譯名，且譯極實數；……

以無窮小言極限，頗合直觀，故仍偶見於入門課本。一九六零年，魯賓遜另闢蹊徑，立新數系，取名超實數，為實數之引伸，且有無窮小及無窮大。以此數系算微積分，世稱非標準分析。 數可四分︰曰實數、曰無窮大、曰無窮小、曰實數加無窮小。 無窮大與無窮大之積，無窮大也。正無窮大與正無窮大之和，正無窮大也。負無窮大與負……

數，計也。古以自然數為數，然後有分數、整數、實數、複數、代數數、超越數、四元數、八元數、超實數、超複數。 只列維基大典所有者。 基數定義有二，其一可作序數觀。 序數何作康威數觀，然引伸之說，尚有爭議。見康威數一文。……

凡甲不同之物，射乙不同之物，曰單射，亦曰內射。實數之立方，單射也，蓋異數之立方必異。加法者，非單射耳，蓋二加三即四加一也。 凡乙之物，均為甲物所射，曰滿射，亦曰映上。實數之立方，滿射也，蓋實數必有其立方根射之。實數之平方，非滿射耳，蓋負二無方根射之。 單滿合射者，雙射也，亦曰一一對應。實數之立方，雙射也。倍者，整數雙射偶數也。……

康威數，超實數也，乃康威所創。 康威喜博奕，嘗以數學論圍棋，曰︰「凡遊戲者，咸有一數」。告之其友高德納，大奇之，於一九七四年著小說《超實數：何以令稚子好數？》。夫數學新法，見諸小說先乎文獻，世所罕見也！俄而康威聞「超實數」之名，甚喜，遂用於論文內，由是名世。……

多病之。反以最烈者，哲人貝克萊主教也，疇人遂立新法，微積分咸定義實數上，爭議遂息，而無窮小殆不復見。然以無窮小言極限，頗合直觀，故仍偶見於入門課本。一九六零年，魯賓遜另闢蹊徑，言趨向零之柯西數列為無窮小，立新數系，名超實數，以引伸實數。此數系所算之微積分，世稱非標準分析。 例：若f(x)=x2{\displaystyle……

複數者，虛實相合之數也。夫實數者，數軸以示，次序自明。若夫虛數，負數方根耳。虛實相合，記曰「 z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} 」，此複數也（其中 a {\displaystyle a} 曰「實部」， b {\displaystyle b} 曰「虛部」，皆實數也； i = −……

→ Xj, (xi)→xj）皆連續也。 若指標集為有限，則拓撲之直積為積拓撲之準基也。 二實數集之積空間為平面，三實數集之積空間為三維空間，四實數集之積空間為四維空間，類推可也。 二單位區間之積空間為正方形，三單住區間之積空間為立方體。 拓撲術語 拓撲｜ 子空間｜ 積空間｜……

因標量域是環，可知矢量空間實模也。 若標量為實數，曰實矢量空間。若標量為複數，曰複矢量空間。 矢量空間之最小生成集，曰基。基之大小，曰維數。 域直積（「Fn{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}」），域之物為標量，維數為域之數（「n」）。 實數集直積複數集（「R×C{\displaystyle……

A ) {\displaystyle \tau =P(A)} 」） 度量空間，其開球之並，聚以成集，為空間之拓撲。 取一實數，凡小於此者成一集，曰實數之開集。所得拓撲，為實數之序拓撲。（「 τ = { ( − ∞ , a ) | a ∈ R } ∪ { ϕ , R } {\displaystyle……

，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。 絕對值者，數與原點其距也，無負，單字曰模。 絕對值者，數映射實數（「 | ⋅ | : M → R {\displaystyle |\cdot |:M\rightarrow \mathbb {R} } 」）且有： 模者，非負也。（「……

集論者，當世算術之本也。凡數學之物，殆必為集。若夫光大其者，乃德意志疇人康托爾（Georg Cantor）耳。 一八七四年，康托爾撰文曰：「夫實數集者，不可一一對應自然數集，故實數遠多於自然數耳。」遂始集論之學。 文出，訿譽參半。訿者曰：「數，有限之量也；以有限之理則，論無限之事，誠不可也。」 未幾，代數、幾何、運算、測度諸學，咸以集論言之。……

N⊇B, M∩M=φ） 二集曰函數分離者，有連續映射實數，恆為一于此集，且恆為零于彼集也。（有連續 f:X→ R {\displaystyle \mathbb {R} } , f(A)={1}, f(B)={0}） 二集曰確切分離者，有連續映射實數，一之原象為此集，而零之本象為彼集也。（有連續 f:X→……

稠密者，盈天下也。 拓撲空間之子集曰稠密者，其閉包為空間也。 空間，稠密也。 分數集及無理數集，稠密于實數集也。 度量空間，稠密于其完備也。 無處稠密 拓撲術語 拓撲｜ 子空間｜ 積空間｜ 商空間｜ 拓撲分類｜ 點｜ 內｜ 外｜ 極限點｜ 孤點｜ 周界｜ 曲線｜ 道路｜ 開集｜ 閉集｜ 閉包｜ 閉開集｜……

a_{-3}a_{-2}a_{-1}.a_{0}a_{1}a_{2}\ldots }），每項可為零一二三四五六。其四則與實數類同。若項零之前皆為零，此乃七進整數是也。 夫實數乃分數之柯西序列。進數亦然，惟用不同之度量也。 取一分數，七在子之幕除七在母之幕（記曰「|±pkr/s|=p−k{\displaystyle……

a)」），或大于甲者（記曰「(a , ∞)」），曰開區間。 不大于甲者（記曰「(-∞ , a]」），或不小于甲者（記曰「[a , ∞)」），曰閉區間。 實數集，曰界乎正負無限之區間也（記曰「(-∞ , ∞)」），既開且閉也。 開區間者，開集也。閉區間者，閉集也。 有定理云：「區間者，同乎實數之凸集也。」……

( X ) {\displaystyle f:X\to f(X)} 亦連續）。 拓撲子空間之拓撲子空間，亦拓撲子空間耳。 若實數乾（a）視為「乾，零」對（(a,0)），則實數乃平面之拓撲子空間。 三角，正方，平面，線段，皆平面之拓撲子空間。 拓撲術語 拓撲｜ 子空間｜ 積空間｜ 商空間｜ 拓撲分類｜……

四元數者，四維之數也。夫實數者，線之數也；複數，平面之數也；哈密頓嘗問：「可有三維之數耶？」苦思良久，於都柏林皇家運河畔，得悟四維之數矣，時一八四三年十月十六日。聚以成集，記曰 H {\displaystyle \mathbb {H} } 。 四元數之奇，乘法不合交換律耳。雖知其時之算，殆無不合交換律者，故哈密頓之悟，實石破天驚之舉耳。……

{N} \rightarrow A} 」）； 滿射自然數集（「 A → N {\displaystyle A\rightarrow \mathbb {N} } 」）； 有真子集一一對應之。 自然數集，無窮集合也。 整數集，無窮集合也，可一一對應偶數集。 實數集，無窮集合也，然正割乃零一線段雙射實數集也。……