미적분학 극한

미적분학(微積分學, calculus)은 수학의 한 분야로 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문이다. 미분은 도함수라는 정의역에서 미소한 차이에 대한 함수값의 차이 값의 비를 구한다. 그 값은 곡선의 기울기로 해석한다. 또 넓이, 부피, 길이 등은 곡선으로...

^{3}} 에서 벡터장의 미분과 적분을 다루는 분야이다. '벡터 미적분학'이라는 용어는 벡터 미적분학뿐만 아니라 편미분과 중적분을 포함하는 다변수 미적분학을 가리키기 위해 사용하기도 한다. 벡터 미적분학은 미분 기하학과 편미분방정식에 중요한 개념들을 포함하며, 전자기장과...

미적분학의 기본 정리(微積分學의基本定理, 영어: fundamental theorem of calculus)는 미분과 적분을 서로 연관시키는 정리이다. 미적분학의 기본 정리와 그 증명은 제임스 그레고리(1638–1675)가 발표하였으며, 아이작 베로우(1630–1677)는...

분수계 미적분학(Fractional calculus)은 해석학의 한 갈래로서 미분 연산자 D = d d x {\displaystyle D={\dfrac {d}{dx}}} 와 적분 연산자 J의 거듭제곱 자리에 실수 혹은 복소수가 위치할 수 있는 가능성에 대해 연구한다. 여기에서...

미적분학에서 극한 비교 판정법(極限比較判定法, 영어: limit comparison test)은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 두 양항 급수의 항의 비가 0이 아닌 실수로 수렴한다면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 두...

뉴턴과 고트프리트 라이프니츠는 무한소 개념을 이용하여 미적분학을 만들고 발전시켰다. 그러나 이들의 무한소 개념은 수학적으로 엄밀하지 못한 것으로, 미적분학은 19세기 후반에 와서야 카를 바이어슈트라스 등에 의한 극한 개념을 통해 형식적 토대를 갖추게 되었다. 한편 무한소...

미분과 적분의 개념을 기초로 함수의 연속성에 관한 성질을 연구하는 수학의 분야이다. 미적분학을 엄밀하게 형식화하는 것을 목적으로 시작된 수학의 한 분야로, 수열이나 함수의 극한 및 무한급수, 미분, 적분, 측도 및 해석함수 등의 개념을 다룬다. 위의 개념들은 주로...

함수의 극한(영어: limit of a function)은 독립 변수가 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 함수의 값이 한없이 가까워지는 값이다. 함수의 극한은 존재할 수도(수렴), 존재하지 않을 수도(발산) 있다. 실수를 비롯한 거리 공간의 경우, 함수의 극한 개념은...

미적분학에서 곱 규칙(-規則, 영어: product rule) 또는 곱의 미분법 또는 라이프니츠 법칙(영어: Leibniz rule)은 함수의 곱의 미분을 구하는 공식이다. 만약 두 함수 f , g : I → R {\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb...

위상수학에서 극한(極限, 영어: limit)은 수열이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 수렴(收斂, 영어: convergence)은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. 발산(發散, 영어: divergence)은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한은 그물의 극한으로...

미적분학에서 근 판정법(根判定法, 영어: root test)은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 가리는 수렴 판정법의 하나다. 물론, 이는 실수 항 급수의 절대 수렴 여부를 가릴 수 있음을 의미한다. 급수의 항의 거듭제곱근의 극한(또는 상극한)을 사용한다. 음이...

미분학(微分學, Differential calculus)은 양이 변동하는 속도를 연구하는 미적분학의 하위 분야이다. 미적분학의 전통적인 2개 분야 가운데 하나로서, 다른 하나는 정의된 함수의 그래프와 그 구간으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 적분이다. 미분(微分, derivative)...

미적분학에서 평균값 정리(平均-定理, 영어: mean value theorem, 약자 MVT)는 미분 가능 함수의 그래프의 할선과 평행하는 접선이 존재한다는 정리다. 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는...

미적분학에서 테일러 급수(Taylor級數, 영어: Taylor series)는 도함수들의 한 점에서의 값으로 계산된 항의 무한합으로 해석함수를 나타내는 방법이다. 매끄러운 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb...

미적분학에서 멱 규칙(영어: power rule)은 멱함수의 도함수를 구하는 공식이다. 멱 규칙에 따르면, 멱함수 x n {\displaystyle x^{n}} ( n ∈ R {\displaystyle n\in \mathbb {R} } )의 도함수는 다음과 같다. d d...

그레고리(James Gregory)가 미적분학의 핵심 정리인 미적분학 기본정리의 증명을 출판하였으며, 영국 수학자 아이작 배로(Issac Barrow)가 좀 더 일반적인 경우를 증명하였다. 무한소 미적분과 유한차 미적분의 결합은 두 번째 미적분학 기본정리가 증명되고 2년이 지나서...

법칙을 발명하고 음속에 대해서 연구했으며, 뉴턴 유체의 개념을 고안하였다. 수학적 업적으로 뉴턴은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠와 함께 미적분학에 기여했다. 또한, 그는 일반화된 이항정리를 증명하고, 소위 뉴턴의 방법이라 불리는 미분 가능한 연속 함수 f에 대해 방정식 f (...

미적분학에서 연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 함수의 합성의 도함수에 대한 공식이다. 함수 g {\displaystyle g} 가 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서 미분 가능하며, 함수 f {\displaystyle f} 가 g ( x...

아직 기초 단계에 머무르던 미적분학이 발전하는 데에 기여하였고, 이를 기반으로 오일러는 미적분학을 주로 연구하며 많은 업적을 남겼다. 오일러가 남긴 몇 가지 증명은 현대 수학에 비추었을 때 엄밀한 증명은 아니지만, 그의 아이디어는 미적분학이 발전하는 데에 공헌하였다....

미적분학에서 테일러 정리(-定理, 영어: Taylor's theorem)는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다. 만약 f : ( a − r , a + r ) → R {\displaystyle f\colon (a-r,a+r)\to \mathbb {R} }...