選択公理 関連文献

選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年に…

同様に妥当性が問題になるタイプの公理に集合論の選択公理など無限を取り扱ったものがある。これは「無限個の（空でない）集合の列から一個ずつ元を選ぶことができる」という趣旨の公理である。選択公理は（集合論のそれ以外の公理が矛盾していない限り）矛盾を導かず（ゲーデル）、さらに選択公理の否定からも矛盾が導かれない（コーヘン）ことが知られている。…

公理系が無矛盾ならば、そこに選択公理と一般連続体仮説を加えても無矛盾である」ということを証明した。以上がゲーデルの三大業績と呼ばれている。この後、ゲーデルは、連続体仮説に関する研究から身を引いた。1963年、ポール・コーエンは、「ZF公理系に選択公理…

古代より世界各地において論理学の研究に関する文献が残されており、それらから中国の墨子が墨弁において推論や証明の形式的な方法を考察したことや、インドのディグナーガなどが論証の基本的な条件について整理したこと、またギリシアにおいてはエウクレイデスが公理に基づいた論証を用いたことや、アリストテレスが推…

数学基礎論において、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合と…

文献[要出典]で用いられている。 公理的アプローチと他のアプローチのどちらを選ぶかは、主に利便性の問題である。日常の数学では、公理的集合論を非形式的に使うが最善の選択かもしれない。特定の公理への言及は、通常、慣例的に必要になったときにのみ生じる。たとえば、選択公理…

である選択関数 c が存在する。 IX は前述のサイズ制限から導出される大域選択公理（英語版）に非常によく似ている。 構築: 選択公理と等価な命題。ZFC の場合、基数の構築のためにある種の選択公理が必要になる。 前述の公理において、すべての量化変項の範囲が集合に制限されている場合、III 以外の公理と公理型…

(ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。 超限帰納法 (A , ≤) を整列集合とし、P(x)…

デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。…

任意のベクトル空間は基底を持つ（このことの証明には選択公理が必要である）。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ濃度（元の個数）を持ち、その濃度をそのベクトル空間の次元と呼ぶ。この事実は次元定理（英語版）と呼ばれる（証明には、選択公理のきわめて弱い形である超フィルター補題が必要である）。 a…

アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルによって書かれ、1910年から1913年に出版された、全3巻からなるそれは、記号論理学において、明示された公理の一組と推論規則から、数学的真理すべてを得る試みである。 『数学原理』のための主要な霊感と動機の1つは論理学に関するフレーゲの初期の仕事である。それ…

の（完全）逆写像であるわけではない。即ち、f は g を打ち消すが、逆は必ずしも成り立たない。 右逆を持つ任意の写像は全射であるが、「任意の全射が右逆写像を持つ」という命題は選択公理に同値である。 f: X → Y が全射で B が Y の部分集合であるとき、f(f −1(B)) = B が成り立つ。つまり B はその原像 f…

completeness theorem、独: Gödelscher Vollständigkeitssatz）とは、一階述語論理の恒真な論理式はその公理系からすべて導出可能であることを示した定理を言う。1929年にクルト・ゲーデルが証明した。 1928年に、D. ヒルベルトとW.…

あるという条件よりは強いが、分裂全射であるという条件よりは弱いことである。集合の圏 Set において任意の（集合論的）全射が切断を持つという事実は選択公理と同値である。 単射でも全射でもあるような射は全単射あるいは双射 (bimorphism) と呼ばれる。 同型射: 射 f: X → Y に対して射…

る特定の二人位相的な完全情報ゲーム（英語版）について（後述）、どちらかのプレイヤーは必ず必勝法を持つことを主張する。 決定性公理は公理的集合論の選択公理と矛盾する。決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性を持つ」ことが従う。とくに…

_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }}に直積位相を入れたものはコンパクトである。 なおチコノフの定理は(ZF公理系を仮定した上で)選択公理と同値である事が知られている。 チコノフの定理より例えばR{\displaystyle \mathbb {R} }上の単位区間I=[0…

\exists m\in S\;\;\forall s\in S\;\,(s,m)\notin R).} X が集合であるとき、従属選択公理（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる。つまり、X…

ゲーデルとポール・コーエンの仕事を合わせて、決定不能命題の確かな実例が得られた。連続体仮説はZFC（集合論における標準的な公理系）の下では証明も否定の証明もできない。また、選択公理もZF（ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの）では証明も否定の証明もできない。これらの結果は不完全性定理を必要としない。1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも…

逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラ…

の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。レーヴェンハイム–スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われ…