代数学

代数学（だいすうがく、algebra）は、数学の一分野で、数の代わりに文字を用いて方程式の解法などを研究する学問。現代の代数学はその研究範囲を大きく広げ、半群・群・環・多元環（代数）・可換体・束などの代数系を研究する学問（抽象代数学）となった。代数学の考え方は、解析学や幾何学等にも浸透しており、数…

数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。 ウィクショナリーに関連の辞書項目があります。 数学、數學、mathematics…

ウィキブックスに線形代数学関連の解説書・教科書があります。 線型代数学（せんけいだいすうがく、英: linear algebra）とは、線形空間と線形変換を中心とした理論を研究する代数学の一分野である。現代数学において基礎的な役割を果たし、幅広い分野に応用されている。また、これは特に行列・行列式・…

抽象代数学（ちゅうしょうだいすうがく、英: abstract algebra）とは、群、環、体、加群、ベクトル空間や線型環のように公理的に定義される代数的構造に関する数学の研究の総称である。 二十世紀初頭の揺籃期には現代代数ともよばれ、数学における厳密さへの指向のもととなった。はじめは数学…

解析学を中心に学ぶ（特に関数がメイン)のが「数学I、II」であるが、現在は代数学の内容も一部含む「数学I、II、III」と、幾何学・代数学・確率・統計・コンピュータを学ぶ「数学A、B」が中心となっている。大体において、高校1年次に「数学I」・「数学A」を、2年次に「数学II」・「数学B」、3年次に「数学III」を履修する。…

ウィキブックスに環論関連の解説書・教科書があります。 数学における環（かん、英: ring）とは、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系のことである。 最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから…

数学の線型代数学において、正方行列の跡（せき、英: trace; トレース、独: Spur; シュプール）あるいは対角和（たいかくわ）とは、主対角成分の総和である。つまり tr⁡[a1,1a1,2…a1,na2,1a2,2…a2,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2…an,n]=a1,1+a2,2+⋯+an,n{\displaystyle…

数学における多重線型代数（たじゅうせんけいだいすう、英語: multilinear algebra）とは、線型空間における多重線型性 (multilinearity) を扱う代数学の分野。多重線型性は典型的には線型環における積の構造に現れている。A を K –代数とするとき、自然数 n に対し、A 上で定義された…

初等代数学（しょとうだいすうがく、英: elementary algebra）は、数学の主要な部門の1つである代数学の基本概念のいくつかを含む。典型的には、中学校の生徒に教えられ、算数の理解を基礎にしている。算数が具体的な数を扱うのに対し、代数学は変数と呼ばれる固定値のない量を導入する。この変数を…

数学（代数学・幾何学・解析学・統計学など）の基礎である場合が殆どである。学習内容については算数および数学 (教科)を参照。 他方、学校教育外での教育・学習活動（社会教育）としては学習塾におけるそれ（特に公文式の実践は有名である）があげられるが、これらが「数学教育」の対象となることは（特に日本において）まれである。…

代数幾何学（だいすうきかがく、英: algebraic geometry）とは、多項式の零点（zero）のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である。 大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学…

数学の一分野としての普遍代数学（ふへんだいすうがく、英: Universal algebra）あるいは一般代数学（いっぱんだいすうがく、英: general algebra）は、構造の「モデル」となる例についてではなく代数的構造そのものについて研究する分野である。例えば、その研究対象として個々の群…

日本語としての関数はもともと「函数」（旧字体：函數）と書いた。函数という語は中国語から輸入されたものであり、中国での初出は1859年に出版された李善蘭の『代微積拾級』といわれる。既にオランダを通じて西洋数学（特に微積分）を勉強していた神田孝平らが翻訳の際に参考にしたとされる。 微積分について日本語で書かれた最初の本、花井静校・福田半編『筆算微積入門』(1880年)…

ホモロジー代数学（ホモロジーだいすうがく、英: homological algebra）は、一般の代数的な設定のもとでホモロジーを研究する数学の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、組み合わせ論的トポロジー（英語版）（代数トポロジーの前身）と抽象代数学（加群や syzygy（英語版）…

19世紀はまた、新たな抽象代数学の始まりの時代でもあった。ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって非可換代数の概念が発展させられたし、一方でイギリスの数学者ジョージ・ブールによってブール論理が開発された。ブール論理は0と1の二つの数からなる体系であり、今日の計算機科学において重要な応用を持っている。 数学…

なお、分野（あるいは人）によっては代数系そのもの、あるいは代数系のもつ算法族のことを代数的構造とよぶこともあるようである。 後者は、代数系の代数構造とも呼ばれる。 現代では、代数学とは代数系を研究する学問のことであると捉えられている。 一つの演算によって決まる代数的構造 マグマ: 一つの二項演算の定義された集合。…

数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、英: matrix）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。 横に並んだ一筋を行(row)、縦に並んだ一筋を列(column)と呼ぶ。 例えば、下記のような行列 [19−13205−6]{\displaystyle…

線型代数学における基底（きてい、英: basis）は線型空間の線型独立な生成系である。 あらゆる線型空間はそれを生成できる線型独立なベクトル集合を1つ以上持つ。言い換えれば、線型結合で空間の全ベクトルを一意に表せるベクトル集合が常に存在する。そしてそれらベクトルの個数は各線形空間で一意に定まる。つ…

(1898-1962) ：代数的整数論 オスカー・ザリスキ (1899-1986) ：ザリスキー位相 アルフレト・タルスキ（1901-1983、ポーランド／アメリカ）：数学基礎論、論理学 岡潔（1901-1976、日本）：多変数複素関数論 正田建次郎（1902-1977、日本）：抽象代数学…

凸体の幾何学や組み合わせ幾何学の手法は現代ではオペレーションズ・リサーチなどの応用数理の分野でも用いられている。 現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透しているため、これらと明確に区別して幾何学とはなにかということを論ずるのは難しいが、しかしながら図形や空間の直…