ベクトル解析

ベクトル解析（ベクトルかいせき、英語：vector calculus）は空間上のベクトル場やテンソル場に関する微積分に関する数学の分野である。 多くの物理現象はベクトル場やテンソル場として記述されるため、ベクトル解析は物理学の様々な分野に応用を持つ。 物理学では3次元ユークリッド空間上のベクトル解析…

空間ベクトル（くうかんベクトル、ドイツ語: Vektor, 英語: vector, ラテン語: vector, 「運搬者、運ぶもの」より）は、大きさと向きを持った量である。ベクタ、ベクターともいう。漢字では有向量と表記される。ベクトルで表される量をベクトル量と呼ぶ。 例えば、速度や加速度、力はベクトル…

{OP}}} 「位置ベクトル」という用語は、主に微分幾何学、力学、時にはベクトル解析の分野で使用される。 2次元または3次元空間で使用されることが多いが、任意の次元数のユークリッド空間に容易に一般化することができる。 3次元では、任意の3次元座標とそれに対応する基底ベクトル…

ベクトル解析におけるスカラー場の勾配（こうばい、英: gradient; グラディエント）は、各点においてそのスカラー場の変化率が最大となる方向への変化率の値を大きさにもつベクトルを対応させるベクトル場である。簡単に言えば、任意の量の空間における変位を、傾きとして表現（例えば図示）することができるが…

{b}}}）が、分野によっては矢印も太字もせずに普通に書くこともある（主に解析学）。 ベクトル、あるいはベクターに関する記事と用法を以下に挙げる。 ベクトル空間の元。線型性がありスカラー倍を取ることができる量。一般の（広い意味での）ベクトル。 数ベクトル 余ベクトル（双対ベクトル）、 ベクトルの共変性と反変性。…

ベクトル解析における回転（かいてん、英: rotation, curl）rot（または curl）は、三次元ベクトル場の無限小回転を記述するベクトル演算子である。 ベクトル場の各点において、ベクトル場の回転はベクトルとして表され、このベクトルの寄与（大きさと向き）によってその点での回転が特徴付けられる。…

ベクトル解析における発散（はっさん、英: divergence）は、ベクトル場の各点ごとの流入出（英語版）の評価を符号付きスカラー値で測るベクトル作用素である。より技術的に言えば、対象点を含む近傍領域を定義しそこに出入りする流束の総和と領域体積との比をとり、領域を無限小に近づけたときの極限である。…

ベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられる。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に関数をベクトル…

ベクトル作用素である。 回転 curl, rot（あるいは記号的に ∇×）はベクトル場の各点においてその点の周りでの場の回転の度合いを測るベクトル作用素である。 物理学や工学への応用においては、ベクトル解析のテンソル空間への拡張として作用素 grad, div, curl はテンソル解析においてもベクトル解析同様に用いられる。…

数学におけるテンソル解析（テンソルかいせき、英: tensor calculus, tensor analysis）はベクトル解析をテンソル場（時空などの多様体上を変化するテンソル）に対して拡張するものである。 テンソル(tensor)解析の概念そのものは微分幾何学におけるガウスの研究から生まれた…

{\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})=0} 線形代数学 ベクトル空間 ベクトル 単位ベクトル 直交補空間 ベクトル解析 『法線ベクトルの3通りの求め方と応用』 - 高校数学の美しい物語…

数学のうちベクトル解析において、3次元ベクトル場A が、3次元ベクトル場v のベクトルポテンシャル（英: vector potential）であるとは、 rot ⁡ A = v {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol…

ベクトルの積であり、ベクトル解析におけるスカラー三重積とベクトル三重積の総称である。 スカラー三重積（英: scalar triple product）は三つのベクトルから擬スカラー値を返す三項演算、すなわち、2つのベクトルのクロス積から作られる擬ベクトルと残りのベクトルとのドット積…

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プロジェクト 数学 ポータル 数学 関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発し…

クトル密度と呼ばれ、ウィーナー＝ヒンチンの定理を介して相関関数と結びつく。 上述したように、光や音や電磁波信号は様々な周波数の成分から構成されている。そのようなものから周波数毎の強さを定量的に求める処理をスペクトル解析（spectrum analysis）と呼ぶ。スペクトル解析…

複素解析 代数学の基本定理 コーシー・リーマンの方程式 複素線積分 コーシーの積分公式 コーシーの積分定理 留数 ローラン級数 解析接続 リーマン球面 リーマン面 モノドロミー行列 漸近展開 等角写像 実解析 調和解析 超準解析 無限小 大域解析学 関数解析学 代数解析学 可積分系 ベクトル解析 微分幾何学…

ベクトル量として定義される。 単位時間当たりの変化量、すなわち[対象の変化量] ÷ [経過時間]によって求められる速度は平均速度（あるいは平均速度ベクトル）と呼ばれる。 例えば物体の運動について、ある時刻t1における物体の位置ベクトルをx1、時刻t2のときの物体の位置ベクトルをx2とすると、この時間区分における物体の平均速度…

ベクトル場（ベクトルば、英: vector field）とは、数学において、幾何学的な空間の広がりの中でベクトル的な量の分布を表すものである。単純化された設定のもとではベクトル場はユークリッド空間 Rn （またはその開集合）からベクトル空間 Rn への関数として与えられる。（局所的な）座標系のもとで…

product）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。…