Borel–Cantellis Lemma: Matematiskt lemma

Om ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$  är en följd av alltmer ovanliga händelser, kommer endast ändligt många av dem att inträffa:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty ~\Rightarrow ~P\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.}$ 

Beteckningen ${\displaystyle P(A_{n})}$  står för sannolikheten att händelsen ${\displaystyle A_{n}}$  skall inträffa.

Om ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$  är en följd av vanligt förekommande oberoende händelser, så kommer oändligt många av dem att inträffa:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})=\infty ~\Rightarrow ~P\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=1.}$ 

En mer allmän form av det första av Borel–Cantellis lemma gäller godtyckliga måttrum: Om ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$  är ett måttrum och ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$  är en följd av element i sigma-algebran ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  så gäller

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ~\Rightarrow ~\mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0;}$ 

måttet ${\displaystyle \mu }$  behöver inte vara ändligt.

Bevis för det första av Borel–Cantellis lemmata

Scenariot att oändligt många av händelserna ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$  skall inträffa kan skrivas

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\underbrace {\left(\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}\right)} _{=B_{n}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}.}$ 

Händelserna ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$  är mindre och mindre delar av varandra:

${\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq B_{3}\supseteq \cdots ;}$ 

detta innebär dels att snittet av de ${\displaystyle N}$  stycken första händelserna är samma sak som händelsen ${\displaystyle B_{N}}$ :

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{N}B_{n}=B_{N}}$ 

och dels att sannolikheterna för att händelserna skall inträffa blir mindre och mindre:

${\displaystyle P(B_{1})\geq P(B_{2})\geq P(B_{3})\geq \cdots .}$ 

Villkoret

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty }$ 

att summan av sannolikheterna för händelserna ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,}$  är ändlig innebär att sannolikheterna ${\displaystyle P(B_{N})}$  blir hur små som helst ju större talet N är:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }P(B_{N})=0.}$ 

Det faktum att ett sannolikhetsmått är ett ändligt mått låter oss dra slutsatsen att

${\displaystyle P(\lim _{N\to \infty }B_{N})=\lim _{N\to \infty }P(B_{N}).}$ 

Eftersom händelserna ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$  är delar av varandra vet vi att

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}=\lim _{N\to \infty }B_{N}.}$ 

Därför kan vi säga att

${\displaystyle P(\limsup _{n\to \infty }A_{n})=P(\lim _{N\to \infty }B_{N})=\lim _{N\to \infty }P(B_{N})=0.}$ 

En följd av stokastiska variabler ${\displaystyle \{X_{n}\}}$  konvergerar mot den stokastiska variabeln ${\displaystyle X}$  om 'avståndet' ${\displaystyle \vert X_{n}-X\vert }$  avtar mot noll då index ${\displaystyle n}$  växer. (Det finns många olika tolkningar av begreppet avstånd mellan stokastiska variabler.)

Låt ${\displaystyle A_{n}}$  vara händelsen att 'avståndet' mellan ${\displaystyle X_{n}}$  och ${\displaystyle X}$  är större än talet ${\displaystyle 1/n}$ :

${\displaystyle A_{n}=\left\{\omega \in \Omega :\vert X_{n}(\omega )-X(\omega )\vert \geq 1/n\right\}.}$ 

Om dessa händelser successivt blir så ovanliga att deras sannolikheter avtar, så att ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty ,}$  så säger Borel–Cantellis lemma att endast ändligt många av dem kommer att inträffa; Detta innebär att det finns ett ändligt (stokastiskt) index ${\displaystyle N}$  sådant att:

${\displaystyle \vert X_{n}-X\vert <1/n,\quad n>N.}$ 

Det går därför att få 'avståndet' mellan ${\displaystyle X_{n}}$  och ${\displaystyle X}$  hur litet som helst, så länge som man väljer index ${\displaystyle n}$  tillräckligt stort; Med andra ord konvergerar följden ${\displaystyle \{X_{n}\}}$  mot ${\displaystyle X}$ .