Eksponentni Razpad

Primer eksponentnega razpada je razpad radioaktivnih jeder, katerih število pade na koncu (po daljšem ali krajšem času) na 0.

Spreminjanje količine ${\displaystyle N\,}$ (npr. števila jeder ali delcev) lahko zapišemo kot

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.}$.

kjer je

• ${\displaystyle N\,}$ fizikalna količina, ki jo opazujemo
• ${\displaystyle \lambda \,}$ pozitivna količina, ki jo imenujemo tudi konstanta razpada
• ${\displaystyle t\,}$ čas.

Rešitev te diferencialne enačbe je

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.\,}$

kjer je

• ${\displaystyle N(t)\,}$ vrednost količine v času t
• ${\displaystyle N(0)\,}$ začetna vrednost količine (to je v času ${\displaystyle t=0\,}$)

Funkcija, ki smo jo dobili kot rešitev, se imenuje naravna eksponentna funkcija, ki ima za osnovo ima število ${\displaystyle e\,}$ (Eulerjevo število). Splošna eksponentna funkcija pa ima obliko ${\displaystyle f(x)=a^{x}\,}$, kjer je ${\displaystyle a\,}$ poljubno pozitivno število.

Kadar je vrednost za ${\displaystyle \lambda \,}$ negativna, dobimo eksponentno rast.

Podoben pojem se uporablja tudi v biologiji, kjer imamo pogosto opravka z eksponentno rastjo. Uporablja se še na mnogih drugih področjih.

Glavni članek: Srednji življenjski čas.

Kadar opazujemo množico delcev ali jeder, lahko določimo povprečno življenjsko dobo posamezne vrste delcev ali jeder. V tem primeru lahko dobimo srednji življenjski čas s pomočjo obrazca:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$ 

kjer je

• ${\displaystyle \lambda \,}$  konstanta razpada

Število delcev po času t je enako:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }.\,}$ .

Glavni članek: Razpolovni čas.

Običajno si lažje predstavljamo čas v katerem razpade polovica delcev ali jeder. Ta čas imenujemo razpolovni čas (oznaka ${\displaystyle t_{1/2}\,}$ ) in ga izračunamo iz

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2.}$ .

Število delcev (jeder) po času t je enako

${\displaystyle N(t)=N(0)2^{-t/t_{1/2}}.\,}$ .

To pomeni, da je

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln 2}}=1,442695040888963\cdot t_{1/2}.}$ 

${\displaystyle z^{2}+b^{2}=c^{2}}$  [tex]\oint\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}=0[/tex] [tex]\frac{u-1}{\sqrt{u}\cdot\big[u\ln(u-1)-u+1\big]}=\frac{2\aleph}{\bullet}[/tex]

• Eksponentni razpad na Mathworld (angleško)
• Eksponentno podanje in rast Arhivirano 2010-08-23 na Wayback Machine. (angleško)