דעיכה מעריכית

בכיתוב מתמטי פונקציה דועכת מעריכית נכתבת בצורה הכללית:

${\displaystyle Y(x)=Y(0)a^{-x}}$

או עם הלוגריתם הטבעי:

${\displaystyle Y(x)=Y(0)e^{-\lambda x}}$

כמו גם בצורות אחרות, אשר נוחות בתחומים מסוימים.

קצב השינוי של ערך דועך מעריכית עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)=-\lambda A(t)}$ 

עבור הערך ${\displaystyle A(t)}$  תלוי הזמן עם קבוע יחס חיובי ${\displaystyle \lambda }$ . פתרון משוואה זו על ידי הפרדת משתנים נותן

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{-\lambda t}}$ .

כאשר מדובר בקבוצת חלקיקים הדועכים מעריכית, לדוגמה מרמה אנרגטית גבוהה לרמת בסיס, אם נתבונן בחלקיק בודד (מדובר למעשה בהתפלגות פואסונית), צפיפות ההסתברות של אי דעיכה נתונה על ידי

${\displaystyle P(t)=\lambda e^{-\lambda t}}$ 

זמן אופייני

זמן השהייה הממוצע של חלקיק ברמה עד לדעיכה אם כך נתון על ידי

${\displaystyle \langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot P(t)dt=\int _{0}^{\infty }t\cdot \lambda e^{-\lambda t}dt={\frac {1}{\lambda }}\equiv \tau }$ ,

כאן נעשה שימוש באינטגרציה בחלקים, זמן ממוצע זה נקרא זמן אופייני ומסומן ב${\displaystyle \tau }$ . על בסיסו ניתן לכתוב את הפתרון למשוואת הדעיכה כך

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}}$ .

לאחר הזמן האופייני הערך יורד ל${\displaystyle e^{-1}}$  מערכו ההתחלתי.

כאשר מדובר בדעיכה אקספוננציאלית בזמן עם זמן אופייני של ${\displaystyle \tau }$ , במישור התדר מתקבל לורנציין עם רוחב של ${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}}$ .

זמן מחצית חיים

  ערך מורחב – זמן מחצית חיים

לאחר זמן זה, יורד הערך למחצית מערכו ההתחלתי. מתוך פתרון משוואת הדעיכה מתקבל כי

${\displaystyle t_{0.5}={\frac {ln2}{\lambda }}=\tau \ln 2}$ .

• דעיכה מעריכית, באתר MathWorld (באנגלית)