Isaac

Дженкинсом младшим, как развитие разработанных им же алгоритмов IA и IBAA. Этот генератор относят к разряду криптостойких генераторов псевдослучайных чисел, хотя полное и строгое доказательство проведено не было.

Американский программист Роберт Джон Дженкинс младший в 1993 году поступил в Беркли, чтобы получить там степень доктора в области теоретической информатики, после окончания Университета Карнеги-Меллон в 1989 году и четырёх лет работы в Oracle. Несмотря на то, что учёба в Беркли стала серьёзным испытанием для Дженкинса — ему пришлось бросить её уже через год — именно здесь он начал свою работу по изучению генераторов псевдослучайных чисел в рамках курса Мануэля Блюма по криптографии. В июле 1993 года Дженкинс стал экспериментировать с псевдослучайными числами для процессоров Intel 486 и уже к апрелю 1994 был разработан ISAAC. Правда, статья, описывающая его работу, была опубликована лишь спустя два года, в феврале 1996 года.

RC4

Алгоритм шифрования RC4 состоит из двух этапов: генерации псевдослучайной последовательности битов и побитового суммирования по модулю два этой последовательности с открытым текстом.

На этапе генерации псевдослучайной последовательности важную роль играет n — размер S-блока, массива данных, который фактически определяет внутреннее состояние RC4. Также в RC4 используются следующие переменные: i и j — итераторы, пробегающие ${\displaystyle 2^{n}}$ значений, массив Key длины length, в котором специальным образом хранится ключ, и массив S (он же S-блок). Выходные данные: массив z — псевдослучайная последовательность.

Рассмотрим алгоритм на примере n = 8. Сначала массив S заполняется числами от 0 до ${\displaystyle 2^{n}-1}$ , массив Key — последовательностью n-битовых слов. Если длина ключа меньше длины S, то последовательность повторяется, пока её длина не станет равна ${\displaystyle 2^{n}}$ . Затем алгоритм работает следующим образом:

i = 0; j = 0; пока i < 256 //256 = 2^n j = (j + S[i] + Key[i mod length]) mod 256; поменять местами S[i] и S[j]; i++;

После этого этапа — этапа инициализации — следует этап собственно генерации псевдослучайной последовательности:

i = 0; j = 0; пока i < 256  j = (j + S[i]) mod 256; поменять местами S[i] и S[j]; z[i] = S[(S[i] + S[j]) mod 256]; i++;

На выходе получается последовательность длины n, с помощью которой шифруется потом открытый текст.

IA

IA (Indirection, Addition) — алгоритм, который был разработан Дженкинсом таким образом, чтобы он мог удовлетворять следующим требованиям:

• невозможность получения внутреннего состояния по имеющимся выходным результатам;
• легко запоминающийся код;
• наибольшая возможная скорость;

Входные данные алгоритма IA: массив S, состоящий из ${\displaystyle 2^{n}}$  элементов от 0 до ${\displaystyle 2^{n}-1}$ , случайным образом распределённых по массиву, итераторы i и j. Массив выходных данных z — результат работы алгоритма. Также значения ячеек в массиве — то есть длины слов — должны быть больше, чем ${\displaystyle 2*n}$  бит, Дженкинс в своих работах берёт K = 32 бит — именно такой длины слова используются во всех описываемых здесь алгоритмах.

IBAA

IBAA (Indirection, Barrelshift, Accumulate and Add) — алгоритм, созданный Дженкинсом на основе IA. Автор полагает наличие следующих преимуществ у IBAA в дополнение к преимуществам, уже имеющимся у IA:

•  

• Криптографическая защищённость
• По всей длине цикла не должны обнаруживаться смещения
• Короткие циклы должны встречаться невероятно редко

В отличие от RC4 и IA, работа IBAA основана на циклических сдвигах битовых данных влево. В реализации IBAA используется тот же набор переменных, что и в IA, с той лишь разницей, что добавляются аккумуляторы a и b, а также barrelshift function — функция, осуществляющая упомянутый выше циклический сдвиг.

barrel(j) — сдвигает циклически в массиве из 32 бит все биты влево на 19 бит. Также это можно задать формулой ${\displaystyle (j<<19)\oplus (j>>13)}$  , где

${\displaystyle \oplus }$  — побитовый XOR

Под операцией >> здесь подразумевается арифметический сдвиг вправо.

Описание

ISAAC (Indirection, Shift, Accumulate, Add and Count) — алгоритм псевдослучайных чисел, принцип работы которого труднее запомнить, чем принципы работы IA и IBAA, зато он имеет по сравнению с ними целый ряд преимуществ. При проектировании ISAAC к нему был предъявлен следующий список требований:

• криптографическая стойкость;
• невозможность получения внутреннего состояния по имеющимся выходным результатам;
• отсутствие коротких циклов;
• отсутствие каких-либо тенденций в распределении бит на всем цикле;
• упорядоченные состояния должны быстро становиться хаотичными.

В отличие от большинства генераторов псевдослучайных чисел, в основе работы которых лежат потоковые шифры, ISAAC разработан без использования линейных регистров сдвига с обратной связью.

Среднее количество машинных инструкций, требуемых для получения 32-битного значения — 18,75. 64-битная версия ISAAC (ISAAC-64) требует 19 инструкций для получения одного 64-битного значения.

Алгоритм работы

Так же, как и в предыдущих алгоритмах, в ISAAC есть массив S, определяющий внутреннее состояние системы, так же состоящий из случайно расположенных в массиве ${\displaystyle 2^{n}}$  элементов от 0 до ${\displaystyle 2^{n}-1}$  длины K бит, итератор i и три переменные a, b и c, отвечающие за предыдущие состояния генератора, массив выходных данных z той же длины, что и S. Однако помимо этих переменных здесь вводятся также переменные ${\displaystyle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}}$ , которые определяют значение функции, зависящей от обоих итераторов:

${\displaystyle f(a,i)={\begin{cases}a<>p_{1},&{\text{if }}i\equiv 1{\text{ mod 4}}\\a<>p_{3},&{\text{if }}i\equiv 3{\text{ mod 4}}\end{cases}}}$ .

В своей статье Дженкинс полагает ${\displaystyle p_{0}=13,p_{1}=6,p_{2}=2,p_{3}=16}$ .

Схема работы генератора на произвольном шаге при n = 8, K = 32 выглядит следующим образом:

c = c + 1; b = b + c; i = 0; пока i < 255 x = S[i]; a = f(a, i) + S[i + 128 mod 256]; S[i] = a + b + S[x>>2 mod 256]; z[i] = x + S[S[i]>>10 mod 256]; b = z[i]; i++;

На своём персональном сайте автор ISAAC объявил конкурс на взлом генератора — первый, кто сможет указать число, использованное в качестве зерна (англ. seed) для генерации первых 2560 значений, выдаваемых генератором, получит от Дженкинса приз в 1000$. Однако пока с этой задачей никто не смог справиться. Тем не менее, ISAAC был рассмотрен в работах ряда криптоаналитиков.

Атака Пудовкиной

В 2001 году была опубликована статья, в которой Марина Пудовкина описывала атаку, основанную на открытых текстах, с помощью которой можно найти начальное состояние генератора по небольшому сегменту выходных данных, а также давала точную оценку сложности такой атаки. При помощи описанного в статье алгоритма, Пудовкиной удалось снизить сложность взлома до ${\displaystyle T_{met}=2^{(2n+\theta _{2})(m-1)}(K-2n-\theta _{2}){\frac {2}{3}}m}$ , в то время как сложность полного перебора ${\displaystyle T_{br}=2^{Km-1}}$ . По её расчётам, при ${\displaystyle m=256,n=8,K=32,p_{\theta }=13,p_{1}=6,p_{2}=2,p_{3}=16,\theta _{1}=\theta _{2}=2}$ сложность взлома полным перебором равна ${\displaystyle T_{br}=5.91*10^{2446}}$ , в то время как с помощью алгоритма Пудовкиной это число могло быть уменьшено до ${\displaystyle T_{met}=4.67*10^{1240}}$  . Такая сложность, тем не менее, всё ещё слишком большая, чтобы можно было назвать ISAAC уязвимым генератором псевдослучайных чисел, резюмирует в своей статье криптоаналитик.

Анализ Жана-Филиппа Омассона

В своей работе 2006 года Омассон описывает четыре множества «слабых» начальных состояний ${\displaystyle W_{1},W_{2},W_{3},W_{4}}$ , которые могут пересекаться между собой. Слабыми считаются такие состояния, для которых часть элементов случайны, а остальные элементы равны одному и тому же значению. Если ${\displaystyle \alpha }$  — начальное состояние, то ${\displaystyle W_{1}}$  можно определить с помощью соотношения: ${\displaystyle \alpha \in W_{1}\Longleftrightarrow \alpha _{0}=\alpha _{1}}$ , тогда ${\displaystyle W_{2}}$  определяется как ${\displaystyle \alpha \in W_{2}\Longleftrightarrow \exists N\in \{2,...,256\},\exists X\in \{0,...,2^{32}-1\},\alpha _{0}=X,\{0$ , множество ${\displaystyle W_{3}}$  — как ${\displaystyle \alpha \in W_{3}\Longleftrightarrow \exists N\in \{2,...,256\},\exists X\in \{0,...,2^{32}-1\},\forall i\in \{0,...,N-1\},\alpha _{i}=X}$ , в то время как ${\displaystyle W_{4}}$  задаётся следующим образом: ${\displaystyle \alpha \in W_{4}\Longleftrightarrow \exists X\in \{0,...,2^{32}-1\},\forall i\in \{0,...,255\},\alpha _{i}=X}$ . Автор рассматривал алгоритм ISAAC при тех же значениях, которые даны выше (то есть n = 8, K = 32) и вычислил для каждого из множеств число слабых состояний. Для ${\displaystyle W_{1}}$  это число составило ${\displaystyle 2^{8160}}$ состояний, для ${\displaystyle W_{2}}$  — ${\displaystyle 2^{8167,99}}$  состояний, для ${\displaystyle W_{4}}$  — ${\displaystyle 2^{32}}$ , ${\displaystyle W_{3}}$  же является подмножеством ${\displaystyle W_{2}}$ . Наличие таких состояний ещё не говорит о том, что ISAAC можно легко взломать, однако они — потенциальные слабые места алгоритма, поэтому Омассон предложил модифицированную версию ISAAC — ISAAC+.

ISAAC+

На вход на некотором шаге подаются те же, что и в ISAAC, числа a, b и c, массив S, составленный из 256 32-битных слов, на выходе — массив z той же размерности, что и S. В описании функции ${\displaystyle f(a,i)}$  вместо логических битовых сдвигов >> и << используются циклические >>> и <<<, то есть применяется функция

${\displaystyle f'(a,i)={\begin{cases}a<<>>p_{1},&{\text{if }}i\equiv 1{\text{ mod 4}}\\a<<>>p_{3},&{\text{if }}i\equiv 3{\text{ mod 4}}\end{cases}}}$ 

Также поменялся способ инициации S[i] и z[i] на каждом шаге — в обоих случаях используется побитовый XOR. То есть вместо

S[i] = a + b + S[x>>2 mod 256]; z[i] = x + S[S[i]>>10 mod 256];

в ISAAC+ используется:

S[i] = a ⊕ b + S[x>>>2 mod 256]; z[i] = x + a ⊕ S[S[i]>>>10 mod 256];

Атака Пола-Прэнила. Критика

В том же 2006 году Пол и Прэнил опубликовали статью, в которой изучали атаку распознавания (англ. distinguishing attack) на некоторые потоковые RC4-подобные генераторы, в том числе IA и ISAAC. В своей работе они показывают, что сложность взлома ISAAC составляет всего ${\displaystyle T\approx 2^{17}}$ . Омассон не оставил без внимания эту атаку и указал на ошибочность инициации алгоритма Полом и Пренилом, из-за которой и появилась возможность так сильно уменьшить сложность его взлома.

Многие реализации ISAAC работают достаточно быстро и надежно, поэтому этот генератор псевдослучайных чисел стал довольно распространённым. ISAAC используется, например, в Unix-утилите shred (Unix)^[en] для зашифровки переписанных данных. Генератор случайных чисел на основе ISAAC реализован в одной из наиболее распространённых математических библиотек Java — Apache Commons Math.