Subconjunto

De forma complementar, ${\displaystyle B}$ é chamado um superconjunto de ${\displaystyle A}$, simbolizado como ${\displaystyle B\supseteq A}$ (também dito "${\displaystyle B}$ contém ${\displaystyle A}$" ou "${\displaystyle B}$ tem ${\displaystyle A}$ como parte"). Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica, utilizando a noção de quantificação universal (∀), temos:

$${\displaystyle A\subseteq B{\stackrel {\mathbf {def} }{=\!=}}\forall x(x\in A\rightarrow x\in B).}$$

• A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja, ${\displaystyle A\subseteq A}$  qualquer que seja o conjunto ${\displaystyle A.}$ 
  Realmente, a condicional ${\displaystyle p\rightarrow p}$  é uma tautologia. Assim, ${\displaystyle x\in A\rightarrow x\in A}$  tanto se ${\displaystyle x\in A}$  como também se ${\displaystyle x\not \in A.}$  E, por definição, ${\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in A)\Rightarrow A\subseteq A.}$ 
• A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se ${\displaystyle A\subseteq B}$  e ${\displaystyle B\subseteq C,}$  então ${\displaystyle A\subseteq C.}$ 
  Se ${\displaystyle A=\varnothing ,}$  ${\displaystyle A\subseteq C}$  (e assumir que ${\displaystyle B\subseteq C}$  é irrelevante). Então, assuma que ${\displaystyle A\neq \varnothing }$  e seja ${\displaystyle x\in A.}$  Por hipótese, ${\displaystyle A\subseteq B}$  e, pela definição de inclusão, ${\displaystyle x\in B.}$  Assim, ${\displaystyle B\neq \varnothing .}$  Também por hipótese ${\displaystyle B\subseteq C,}$  isto é, se ${\displaystyle y\in B}$  também ${\displaystyle y\in C.}$  Em particular, para ${\displaystyle y=x}$  temos ${\displaystyle x\in C.}$  Como ${\displaystyle x\in A}$  era arbitrário, todo elemento de ${\displaystyle A}$  é também elemento de ${\displaystyle C,}$  ou seja, ${\displaystyle A\subseteq C.}$ 
• A inclusão de conjuntos é uma relação antissimétrica, ou seja, se ${\displaystyle A\subseteq B}$  e ${\displaystyle B\subseteq A,}$  então ${\displaystyle A=B.}$ 
  De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.
• Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio ${\displaystyle A}$  e uma coleção ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  de subconjuntos de ${\displaystyle A,}$  a relação de inclusão ${\displaystyle \subseteq }$  é uma relação de ordem parcial em ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ 
  A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X, ${\displaystyle \preceq }$ ) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal ${\displaystyle n}$  é identificado com o conjunto ${\displaystyle [n]}$  de todos os ordinais menores ou igual a ${\displaystyle n,}$  então ${\displaystyle a\leq b}$  se e somente se ${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$ 

Dizemos que um conjunto ${\displaystyle B}$  é um subconjunto próprio de um conjunto ${\displaystyle A}$  se ${\displaystyle B\subseteq A}$  (${\displaystyle B}$  é subconjunto de ${\displaystyle A}$ ) e ${\displaystyle B\neq A}$  (${\displaystyle B}$  é diferente de ${\displaystyle A}$ ). Explicitamos este fato com a notação especial ${\displaystyle B\subsetneq A;}$  ou ainda ${\displaystyle A\supsetneq B}$  (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que ${\displaystyle B}$  está estritamente contido em ${\displaystyle A,}$  ou seja, existe pelo menos um ${\displaystyle x\in A}$  tal que ${\displaystyle x\not \in B.}$  Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, ${\displaystyle A}$  é o único subconjunto de um conjunto ${\displaystyle A\neq \varnothing }$  que não é próprio. Assim, dizemos que ${\displaystyle A}$  é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de ${\displaystyle A.}$ 

• O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
• O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
• O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.

• Conjunto potência
• Função inclusão

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2 

• "Subset", "Superset", "Proper Subset" e "Improper Subset" in MathWorld (em inglês)
• "Subset" in ProofWiki (em inglês)

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