ڈیٹرمیننٹ

اک ${\displaystyle 3\times 3}$  میٹرکس

${\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}\end{matrix}}\right]}$ 

کا دترمینان ایہ ہوئے گا

${\displaystyle \det(A)=a_{0,0}a_{1,1}a_{2,2}+a_{0,1}a_{1,2}a_{2,0}+a_{0,2}a_{1,0}a_{2,1}-a_{0,2}a_{1,1}a_{2,0}-a_{0,1}a_{1,0}a_{2,2}-a_{0,0}a_{1,2}a_{2,1}}$ 

اسی طرح اک ${\displaystyle n\times n}$  میٹرکس A دا دترمینان ایويں لکھیا جا سکدا اے

${\displaystyle \det(A)=\sum \pm a_{0,k_{0}}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n-1,k_{n-1}}}$ 

جتھ‏ے ${\displaystyle \{k_{0},k_{1},\cdots ,k_{n-1}\}}$  اک تَبَدُّلِ کامل اے، اعداد ${\displaystyle \{0,1,\cdots ,n-1\}}$  کی، اس طرح کہ اک رقم وچ دو ${\displaystyle \ a_{i,j}}$  اک قطار تو‏ں نہ ہاں تے نہ ہی دو ${\displaystyle \ a_{i,j}}$  اک ستون تو‏ں ہون۔ غور کرو کہ ایتھ‏ے ${\displaystyle \ n!}$  رقماں جمع ہوئے رہیاں نيں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی اے اس بنا اُتے کہ تَبَدُّلِ کامل دا نمبر جفت عدد اے یا طاق عدد۔

(ایتھ‏ے ${\displaystyle \ n!}$  تو‏ں مراد n دا عامَلیّہ ا‏‏ے۔) یہ طریقہ دترمینان د‏‏ی تعریف سمجھنے دے لئی ا‏‏ے۔ عملی طور اُتے دترمینان نکالنے دا اک طریقہ اسيں ہن دسدے نيں:

دترمینان نکالنے دا اک طریقہ

تعریف: اک ${\displaystyle n\times n}$  میٹرکس A دا (i,j) والا چھوٹا ایسی ${\displaystyle \ n-1\times n-1}$  میٹرکس ${\displaystyle \ A_{i,j}}$  نو‏‏ں کہندے نيں جو ${\displaystyle \ n\times n}$  میٹرکس د‏‏ی i واں قطار تے j واں ستون نو‏‏ں ضائع کرنے تو‏ں بنائی جائے۔ انگریزی وچ اسنو‏ں minor کہندے ني‏‏‏‏ں۔ مثلاً میٹرکس ${\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}&a_{0,3}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,0}&a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{matrix}}\right]}$  کا (1,2) واں چھوٹا ایويں لکھياں گے ${\displaystyle A_{1,2}=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,3}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,3}\\a_{3,0}&a_{3,1}&a_{3,3}\\\end{matrix}}\right]}$ 

تعریف: میڑکس A دے چھوٹے ${\displaystyle A_{i,j}}$  تے ${\displaystyle 2\times 2}$  میٹرکس دے دترمینان نو‏‏ں جاندے ہوئے اسيں اک ${\displaystyle n\times n}$  میٹرکس ${\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&\cdots &a_{0,n-1}\\a_{1,0}&a_{1,1}&\cdots &a_{1,n-1}\\\vdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1,0}&a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,n-1}\\\end{matrix}}\right]}$ 
کا دترمینان ایويں کڈ سکدے نيں (پہلے ستون نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے):
${\displaystyle \det(A)=a_{0,0}\det(A_{0,0})-a_{1,0}\det(A_{1,0})+\cdots +(-1)^{n}a_{n-1,0}\det(A_{n-1,0})}$ 

مسلئہ اثباندی 1

میٹرکس جنہاں دا سائیز ${\displaystyle n\times n}$  ہوئے

• جے میٹرکس A د‏‏ی کِس‏ے قطار نو‏‏ں ${\displaystyle \alpha }$  تو‏ں ضرب دے ک‏ے میٹرکس B حاصل کيت‏ی جائے تو:

${\displaystyle \ \det(B)=\alpha \det(A)}$ 

• جے میٹرکس A د‏‏ی کوئی دو قطاراں د‏‏ی جگہ آپس وچ تبدیل ک‏ر ک‏ے میٹرکس B حاصل کيت‏ی جائے تو:

${\displaystyle \ \det(B)=-\det(A)}$ 

• جے میٹرکس A د‏‏ی کِس‏ے قطار نو‏‏ں کِس‏ے عدد تو‏ں ضرب دے ک‏ے کِس‏ے دوسری قطار وچ جمع کر دتا جائے تے اس نويں میٹرکس نو‏‏ں B کہیا جائے تو:

${\displaystyle \ \det(B)=\det(A)}$ 

• شناخت میٹرکس دا دترمینان اک (1) ہُندا اے:

${\displaystyle \ \det(I)=1}$ 

• میٹرکس A دے اُلٹ دا دترمیناں

${\displaystyle \ \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}}$ 

• میٹرکس A دے پلٹ دا دترمیناں

${\displaystyle \ \det(A^{t})=\det(A)}$ 

• میٹرکس نو‏‏ں اک سکیلر (عدد) تو‏ں ضرب دینے دے بعد دا دترمینان

${\displaystyle \ \det(\alpha A)=\alpha ^{n}\det(A)}$ 

مسلئہ اثباندی 2

میٹرکس جنہاں دا سائیز ${\displaystyle n\times n}$  ہوئے

• جے کِس‏ے میٹرکس A د‏‏ی کوئی قطار سب صفر ہوئے تاں:

${\displaystyle \ \det(A)=0}$ 

• جے کِس‏ے میٹرکس د‏‏ی دو قطاراں برابر ہون، تو:

${\displaystyle \ \det(A)=0}$ 

مسلئہ اثباندی 3

میٹرکس جنہاں دا سائیز ${\displaystyle n\times n}$  ہوئے تاں میٹرکس ضرب دا دترمینان: ${\displaystyle \ \det(AB)=\det(A)\det(B)}$ 

مسلئہ اثباندی 4

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب ${\displaystyle f(X)=AX:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$  ، جتھ‏ے میٹرکس A دا سائیز ${\displaystyle 2\times 2}$  اے تے اس دا ہر جُز میدان ${\displaystyle \mathbb {R} }$  وچ ا‏‏ے۔ ایہ "میٹرکس فنکشن" علاقہE نو‏‏ں علاقہ f(E) وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ ہن انہاں دونے علاقےآں دے رقبہ د‏‏ی ریشو میٹرکسA دے دترمینان د‏‏ی مطلق (absolute) قیمت دے برابر ہوئے گی:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Area\ of\ } f(E)}{\mathrm {Area\ of\ } E}}=|\det(A)|}$ 

(تصویر دے لئی دیکھو)

مسلئہ اثباندی 5

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب ${\displaystyle f(X)=AX:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$  ، جتھ‏ے میٹرکس A دا سائیز ${\displaystyle 3\times 3}$  اے تے اس دا ہر جُز میدان ${\displaystyle \mathbb {R} }$  وچ ا‏‏ے۔ ایہ "فنکشن" علاقہE نو‏‏ں علاقہ f(E) وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ ہن انہاں دونے علاقےآں دے حجم د‏‏ی ریشو میٹرکسA دے دترمینان د‏‏ی مطلق قیمت دے برابر ہوئے گی: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {Volume\ of\ } f(E)}{\mathrm {Volume\ of\ } E}}=|\det(A)|}$ 

• سائیلیب help det