Matemàtica Sen

As peul definisse për mojen ëd la serie

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots }$,

ch'a sarìa sò dësvlup.

Fonsion sinussoidaj

Le fonsion sinussoidaj a l'han la forma

${\displaystyle y=A\sin 2\pi \left({\frac {t}{T}}+k\right)}$

anté che A e T a son positiv e k a l'é na costanta qualsëssìa. An butand ${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}=\omega }$ la forma a dventa

${\displaystyle y=A\sin(\omega t+\alpha )}$.

Ël nùmer A, màssim ëd la fonsion, a n'é l'ampiëssa. La costanta ${\displaystyle \nu ={\frac {1}{T}}}$ a l'é ciamà frequensa, antant che ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi \nu }$ a l'é la pulsassion ëd la fonsion. L'àngol ${\displaystyle \omega t+\alpha }$, fonsion linear ëd t, as ciama la fas.

Si, nopà dël sen, ant la fonsion a compariss ël cosen, as agiss ancor ëd na fonsion sinussoidal, dagià che

${\displaystyle A\cos(\omega t+\beta )=A\sin \left(\omega t+\beta +{\frac {\pi }{2}}\right)}$.

Studi dla fonsion sinussoidal

Le derivà sucessive ëd na fonsion sinussoidal a son ëd fonsion sinussoidaj. An efet,

${\displaystyle y'=A\omega \cos(\omega t+\alpha )=A\omega \sin \left(\omega t+\alpha +{\frac {\pi }{2}}\right)}$,
${\displaystyle y''=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\alpha )=A\omega ^{2}\sin(\omega t+\alpha +\pi )=-\omega ^{2}y}$.

D'àutra part, le solussion ëd l'equassion diferensial

${\displaystyle y''=-\omega ^{2}y}$

a son le fonsion sinussoidaj. An efet, a parte da s'equassion, un a oten

${\displaystyle 2y'y''=-\omega ^{2}2yy'}$

e, antëgrand,

${\displaystyle y'^{2}=-\omega ^{2}y^{2}+C}$

anté che C a l'é na costanta positiva. As peul antlora butesse ${\displaystyle C=A^{2}\omega ^{2}}$ e scrive

${\displaystyle y'^{2}=\omega ^{2}(A^{2}-y^{2})=\omega ^{2}A^{2}\left(1-{\frac {y^{2}}{A^{2}}}\right)}$,

visadì

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dt}}=\pm \omega A{\sqrt {1-{\frac {y^{2}}{A^{2}}}}}}$.

An separand le variàbij e antëgrand,

${\displaystyle \pm {\frac {d{\frac {y}{A}}}{\sqrt {1-{\frac {y^{2}}{A^{2}}}}}}=\omega dt}$
${\displaystyle \arcsin {\frac {y}{A}}=\omega t+\alpha }$,

lòn ch'as peul ëscriv-se

${\displaystyle {\frac {y}{A}}=\sin(\omega t+\alpha )}$

visadì

${\displaystyle y=A\sin(\omega t+\alpha )}$.

Ël moviment armònich

Ël moviment d'un pont material P ëd massa m ch'a bogia ansima a n'ass Ox conforma a la laj ${\displaystyle x=A\sin(\omega t+\varphi )}$ a l'é dit moviment alternà sempi o moviment vibratòri sempi (o sinussoidal) o moviment armònich.

L'andi d'ës pont a l'é

${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}=A\cos(\omega t+\varphi )}$

e l'acelerassion a l'é

${\displaystyle \gamma =-\omega ^{2}x}$.

La fòrsa aplicà a P ch'a produv ël moviment a l'é smonùa da

${\displaystyle F=m\gamma =-m\omega ^{2}x}$.

Donca sa fòrsa a l'é dirigiùa da P vers O e a l'é proporsional a x, visadì ël pont O a esèrcita su P na fòrsa d'atrassion proporsional a soa distansa da P.

D'àutra part, si un pont material P a bogia an sn'ass fiss Ox tirà vers O da na fòrsa proporsional a OP, antlora ël moviment ëd P a l'é un moviment armònich. An efet, la fòrsa a resta smonùa da

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx}$, con k>0;

an marcand ${\displaystyle k=m\omega ^{2}}$, visadì ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$, un a oten

${\displaystyle x=A\sin(\omega t+\varphi )}$,

anté che le costante A e φ a dipendo dai valor inissiaj ${\displaystyle x_{0},v_{0}}$ ëd posission e andi:

${\displaystyle x_{0}=A\sin \varphi }$
${\displaystyle v_{0}=\omega A\cos \varphi }$,

dont

${\displaystyle A^{2}=x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\omega x_{0}}{v_{0}}}}$.

Ël pont P a sbalansa antra ij doi pont estrem, d'assisse A e -A.

Energìa ëd moviment

L'energìa cinètica, o fòrsa viva, dël pont material P a l'época t a l'é

${\displaystyle {\mathcal {C}}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}A^{2}\omega ^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi )={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}(A^{2}-x^{2})}$.

L'energìa potensial, ch'a l'é definìa a men ëd na costanta e ch'as peul pijesse nula për x=0, a l'é

${\displaystyle \Pi ={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$

dagià che

${\displaystyle {\frac {d\Pi }{dx}}=m\omega ^{2}x=-F={\frac {d{\mathcal {T}}}{dt}}}$,

anté che ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ a l'é ël travaj ëd la fòrsa -F.
L'energìa mecànica total, soma dl'energìa cinética e dl'energìa potensial, a l'é costanta e a resta ugual a

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}}$.

Donca ël quadrà dl'ampiëssa ${\displaystyle A^{2}}$ a mzura, a men d'un fator costant, l'energìa mecànica total dël moviment e a l'é soens ciamà antensità dël moviment.

Fonsion sinussoidal ësmortà

As ciama ëd sòlit fonsion sinussoidal ësmortà la fonsion

${\displaystyle y=Ce^{-bt}\sin \left({\frac {2\pi t}{T}}+\varphi \right)}$

anté che T (positiv), C, φ, b a son dle costante.
La costanta T a l'é ël perìod ëd la fonsion sinussoidal ${\displaystyle s=C\sin \left({\frac {2\pi t}{T}}+\varphi \right)}$ e a l'é ciamà fàuss perìod ëd la fonsion y. La costanta b a caraterisa ël dësmortament ëd la fonsion e, ëd sòlit, a l'é 'dcò chila positiva.
Ël nùmer ${\displaystyle \lambda =b{\frac {T}{2}}}$ a l'é ël decrement logarìtmich ëd la fonsion.

Studi dla fonsion

Zero dla fonsion

La fonsion sinussoidal ësmortà y as anula anté ch'as anula la fonsion sinussoidal s, visadì ant ij pont dàit da l'equassion

${\displaystyle {\frac {2\pi t}{T}}+\varphi =K\pi }$, për K antregh,

dont

${\displaystyle t={\frac {-T\varphi }{2\pi }}+K{\frac {T}{2}}}$.