Twierdzenie Zermela

twierdzenie o dobrym uporządkowaniu – twierdzenie teorii mnogości zapewniające (na gruncie teorii ZFC), że na każdym zbiorze można wprowadzić relację dobrego porządku. Opublikowane w 1904 roku przez Ernsta Zermela.

Dla dowolnych dwóch zbiorów ${\displaystyle X}$  i ${\displaystyle Y}$  zachodzi

${\displaystyle {\overline {X}}\geqslant {\overline {Y}}}$  lub ${\displaystyle {\overline {Y}}\geqslant {\overline {X}},}$ 

gdzie przez ${\displaystyle {\overline {X}}}$  oznacza moc zbioru ${\displaystyle X.}$  Oznacza to, że

Moce dowolnych zbiorów są porównywalne
Jest tak, gdyż z twierdzenia Zermela każdy z danych dwóch zbiorów można dobrze uporządkować, a zatem zgodnie z twierdzeniem o zbiorach dobrze uporządkowanych jeden z nich jest odcinkiem początkowym drugiego, a co za tym idzie ma moc mniejszą lub równą od niego.

Na gruncie teorii ZF zachodzi równoważność pomiędzy aksjomatem wyboru a twierdzeniem Zermela, tj. zakładając na gruncie ZF jedno z nich można udowodnić drugie.

Twierdzenie Zermela pociąga aksjomat wyboru
Istotnie, niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  będzie dowolną rodziną niepustych zbiorów. Z twierdzenia Zermela wynika, że istnieje dobry porządek ${\displaystyle \leqslant }$  na zbiorze ${\displaystyle F=\bigcup {\mathcal {F}}.}$  W szczególności każdy niepusty podzbiór zbioru ${\displaystyle F}$  ma element najmniejszy względem porządku ${\displaystyle \leqslant .}$  Jednakże dla każdego ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$  zachodzi inkluzja ${\displaystyle A\subseteq F.}$  Wynika stąd, że przyporządkowanie
${\displaystyle A\mapsto \min {}_{\leqslant }A\quad (A\in {\mathcal {F}})}$ 
jest funkcją wyboru na ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$  gdzie ${\displaystyle \min {}_{\leqslant }A}$  oznacza element najmniejszy w ${\displaystyle A}$  względem relacji ${\displaystyle \leqslant .}$ 

• Thomas Jech, The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973.