Twierdzenie Krejna-Milmana

Przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla:

Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

W szczególności ${\displaystyle X}$ może być przestrzenią unormowaną. Pod nazwą „twierdzenie Krejna-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie:

Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle X^{*}}$ do rzeczywistej przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X}$ ma punkt ekstremalny.

Zobacz też: hiperpłaszczyzna podpierająca.

Zbiór ${\displaystyle S}$  nazywa się zbiorem podpierającym zbioru ${\displaystyle C\subseteq X,}$  jeżeli ${\displaystyle S}$  jest takim domkniętym zbiorem afinicznym przecinającym ${\displaystyle C,}$  dla którego należenie do ${\displaystyle S}$  pewnego punktu wewnętrznego odcinka zawartego w ${\displaystyle C}$  pociąga zawieranie całego odcinka. Dowód polega na wykazaniu, iż zbiory podpierające są jednopunktowe, a punkty podpierające to nic innego jak punkty ekstremalne.

Dla dowolnego wektora ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$  hiperpłaszczyzna

${\displaystyle H=H(x^{*})=\left\{x\in X\colon \langle x^{*},x\rangle =\max _{x\in C}~\langle x^{*},x\rangle \right\}}$ 

jest podpierająca. Niech ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$  oznacza rodzinę wszystkich zbiorów podpierających zawartych w ${\displaystyle H}$  uporządkowaną relacją zawierania – z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje łańcuch maksymalny ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  w tej rodzinie. Przecięcie ${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}}$  wszystkich zbiorów podpierających z ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  należy do ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  (na mocy maksymalności łańcucha); wystarczy dowieść, iż ${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}}$  jest jednopunktowy. Otóż jeśli ${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}}$  zawiera dwa elementy ${\displaystyle \xi }$  oraz ${\displaystyle \eta ,}$  to można je rozdzielić za pomocą pewnego funkcjonału ${\displaystyle {\hat {x}}^{*}}$  (tzn. wybrać taki ${\displaystyle {\hat {x}}^{*},}$  dla którego ${\displaystyle \langle {\hat {x}}^{*},\xi \rangle <\langle {\hat {x}}^{*},\eta \rangle }$ ), a następnie położyć ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {S}}}:={\hat {\mathcal {S}}}\cup \Gamma ,}$  gdzie

${\displaystyle \Gamma =\left\{x\in X\colon \langle {\hat {x}}^{*},x\rangle =\sup _{x\in {\hat {\mathcal {S}}}\cup C}\langle {\hat {x}}^{*},x\rangle \right\}.}$ 

Ponieważ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {S}}}}$  jest zbiorem domkniętym mającym infimum z ${\displaystyle C,}$  a ponadto będącym zarazem zbiorem podpierającym, co przeczy maksymalności ${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}.}$ 

Jeśli ${\displaystyle \mathrm {extr} \;C}$  oznacza zbiór wszystkich punktów ekstremalnych zbioru ${\displaystyle C,}$  to domknięcie ${\displaystyle \mathrm {cl} \;C}$  zbioru ${\displaystyle C}$  jest jego podzbiorem właściwym. Stąd można oddzielić punkt ${\displaystyle C\setminus \mathrm {cl} \;C}$  od zbioru ${\displaystyle \mathrm {cl} \;C}$  za pomocą funkcjonału ${\displaystyle {\overline {x}}^{*}}$  i rozważając płaszczyznę podpierającą ${\displaystyle H({\overline {x}}^{*})}$  znaleźć punkt ekstremalny zbioru ${\displaystyle C}$  nie należący do ${\displaystyle \mathrm {cl} \;C}$  na tej hiperpłaszczyźnie. Sprzeczność ta kończy dowód.

• twierdzenie Banacha-Alaoglu