Aksjomat Determinacji: Założenie teorii mnogości alternatywne do pewnika wyboru

axiom of determinacy) – aksjomat teorii mnogości postulujący zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych. Implikuje on, że aksjomat wyboru jest fałszywy, a zatem unieważnia paradoksy wynikające z tego ostatniego. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak AD niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla.

W dalszej części tego artykułu będą używane oznaczenia i definicje wprowadzone w artykule o grach nieskończonych.

• Pierwsza gra nieskończona została opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w problemie 43 w Księdze Szkockiej. Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura.
• W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego.
• W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz ${\displaystyle A\subseteq \omega ^{\omega }}$  jest zbiorem analitycznym, to gra ${\displaystyle \Game ^{\omega }(A)}$  jest zdeterminowana.
• W 1975 Martin wykazał, że jeśli ${\displaystyle A\subseteq \omega ^{\omega }}$  jest zbiorem borelowskim, to gra ${\displaystyle \Game ^{\omega }(A)}$  jest zdeterminowana.
• W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.
• W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu ${\displaystyle \mathbf {P} _{\max },}$  które okazało się kluczowym elementem badań struktury ${\displaystyle ({\mathcal {H}}(\omega _{2}),\in ,I_{NS})}$  przy założeniu AD w ${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbb {R} )}$  (gdzie ${\displaystyle I_{NS}}$  jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów ${\displaystyle \omega _{1},}$  a ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\omega _{2})}$  jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy ${\displaystyle <\omega _{2}}$ ).

Definicje wstępne

Przypomnijmy następujące definicje:

• Niech ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$  będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {X}}^{\omega }.}$  Gra ${\displaystyle \Game ^{\mathcal {X}}(A)}$  pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony ${\displaystyle \eta =\langle \eta (n):n\in \omega \rangle \in {\mathcal {X}}^{\omega }}$  o wyrazach w ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$  w taki sposób, że po tym jak już ${\displaystyle \eta \upharpoonright n=\langle \eta (k):k$  zostało wybrane, to

jeśli ${\displaystyle n}$  jest parzyste, to gracz I wybiera ${\displaystyle \eta (n),}$ 
jeśli ${\displaystyle n}$  jest nieparzyste, to gracz II wybiera ${\displaystyle \eta (n).}$ 
Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg ${\displaystyle \eta =\langle \eta (n):n\in \omega \rangle \in {\mathcal {X}}^{\omega },}$  powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli ${\displaystyle \eta \in A.}$ 

• Strategia dla gracza I to funkcja ${\displaystyle \sigma :\bigcup \limits _{k\in \omega }{\mathcal {X}}^{2k}\longrightarrow {\mathcal {X}}.}$  Powiemy, że ciąg ${\displaystyle \eta \in {\mathcal {X}}^{\omega }}$  jest zgodny ze strategią σ jeśli ${\displaystyle (\forall k\in \omega )(\eta (2k)=\sigma (\eta \upharpoonright 2k)).}$  Strategia ${\displaystyle \sigma }$  dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w ${\displaystyle \Game ^{\mathcal {X}}(A)}$ , jeśli każdy ciąg ${\displaystyle \eta }$  zgodny z ${\displaystyle \sigma }$  należy do zbioru ${\displaystyle A.}$ 
• Strategia dla gracza II to funkcja ${\displaystyle \tau :\bigcup \limits _{k\in \omega }{\mathcal {X}}^{2k+1}\longrightarrow {\mathcal {X}}.}$  Powiemy, że ciąg ${\displaystyle \eta \in {\mathcal {X}}^{\omega }}$  jest zgodny ze strategią τ jeśli ${\displaystyle (\forall k\in \omega )(\eta (2k+1)=\tau (\eta \upharpoonright (2k+1))).}$  Strategia ${\displaystyle \tau }$  dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w ${\displaystyle \Game ^{\mathcal {X}}(A)}$ , jeśli żaden ciąg ${\displaystyle \eta }$  zgodny z ${\displaystyle \tau }$  nie należy do zbioru ${\displaystyle A.}$ 
• Powiemy, że gra ${\displaystyle \Game ^{\mathcal {X}}(A)}$  jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

Aksjomaty determinacji

• Aksjomat determinacji AD to zdanie

dla każdego zbioru ${\displaystyle A\subseteq \omega ^{\omega }}$  gra ${\displaystyle \Game ^{\omega }(A)}$  jest zdeterminowana.

• Aksjomat determinacji rzeczywistej ${\displaystyle \mathbf {AD} _{\mathbb {R} }}$  to zdanie

dla każdego zbioru ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{\omega }}$  gra ${\displaystyle \Game ^{\mathbb {R} }(A)}$  jest zdeterminowana

(gdzie ${\displaystyle \mathbb {R} }$  oznacza zbiór liczb rzeczywistych).

• Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie

dla każdego zbioru rzutowego ${\displaystyle A\subseteq \omega ^{\omega }}$  gra ${\displaystyle \Game ^{\omega }(A)}$  jest zdeterminowana.

• ${\displaystyle \mathbf {AD} _{\mathbb {R} }}$  implikuje AD.
• Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD:
  1. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a.
  2. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a.
  3. Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
  4. Dla każdego ${\displaystyle x\subseteq \omega ,}$  ${\displaystyle \aleph _{1}}$  jest liczbą nieosiągalną w ${\displaystyle \mathbf {L} [x].}$ 
  5. ${\displaystyle \aleph _{1}}$  jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
  6. ${\displaystyle \aleph _{2}}$  jest liczbą mierzalną.
• Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD:
  1. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a.
  2. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a.
  3. Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
• Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to
  1. ${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbb {R} )\models \mathbf {AD} }$ 
  2. PD jest prawdziwe.
• Teoria „ZF+AD” jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria „ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina”.

• opisowa teoria mnogości