Svārstības

Ja kustība atkārtojas precīzi, tad tādu kustību sauc par periodisku kustību. Dabā visbiežāk svārstības ar laiku pavājinās (norimst).

Mehāniskās svārstības ir kustība, kad ķermenis periodiski novirzās gan uz vienu, gan uz otru pusi. Ir divu pamatveidu mehāniskās svārstības: brīvās svārstības un uzspiestās svārstības. Kā atsevišķu gadījumu izdala harmoniskās svārstības, kas var būt kā brīvas, tā arī uzspiestas. Tāpat pēc tā, vai svārstošais ķermenis atrodas virzes vai griezes kustībā, var izšķirt virzes un griezes svārstības.

Harmoniskās svārstības

Harmoniskas svārstības notiek, kad rezultējošais spēks ir proporcionāls novirzei no līdzsvara stāvokļa- šādas sistēmas mēdz saukt par lineāru harmonisku oscilatoru. Ja ${\displaystyle F_{a}\nsim x}$ , tad to sauc par anharmonisku oscilatoru. Harmonisku svārstību nosacījums izpildās, piemēram, Huka likumā: ${\displaystyle ma=-kx}$ , kur ${\displaystyle x}$  ir novirze no līdzsvara un ${\displaystyle k}$  ir atsperes stinguma koeficients.

Harmonisko svārstību gadījumā atvirzes vienādojums no līdzsvara stāvokļa izskatīsies šādi: ${\displaystyle x=X_{max}\cdot cos(\omega _{0}t+\varphi )}$ . Harmoniskām svārstībām periods būs vienāds ar ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}}$  (analoģija ceļš dalīts uz ātrumu, bet priekš leņķiem).

Izvedums

 

Var uzrakstīt Huka likumu kā diferenciālvienādojumu:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx}$ , jeb ${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {k}{m}}x=0}$ . Tā kā otrais atvasinājums ${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}}$  atbilst ${\displaystyle -c\cdot x(t)}$ , iespējams minēt, ka atrisinājums izskatīsies formā ${\displaystyle x=X_{max}\cdot cos(\omega _{0}t+\varphi )}$ , kur ${\displaystyle X_{max}}$  ir amplitūda, ${\displaystyle \omega _{0}}$  ir cikliskā frekvence un ${\displaystyle \varphi }$  ir sākuma novirze.

Minējumu var pārbaudīt, to atvasinot divas reizes un ievietojot izteiksmes Huka likumā. Minējumam:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega _{0}^{2}A\cos(\omega _{0}t+\varphi )}$ , tagad šo un ${\displaystyle x=A\cdot cos(\omega t+\varphi )}$  var ievietot Huka likumā:

${\displaystyle -\omega ^{2}A\cos(\omega _{0}t+\varphi )+{\frac {k}{m}}cos(\omega _{0}t+\varphi )=0}$ , jeb

${\displaystyle ({\frac {k}{m}}-\omega _{0}^{2})\cdot cos(\omega _{0}t+\varphi )=0}$ , kas ir patiess, ja ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ , tātad minējums der. Jāpiebilst, ka var izvēlēties gan ${\displaystyle sin}$ , gan ${\displaystyle cos}$  funkcijas priekš svārstībām, bet šī izvēle ietekmēs sākuma novirzi ${\displaystyle \varphi }$ .

Citi lielumi harmoniskām svārstībām

 

Momentāno ātrumu aprēķina pēc formulas: ${\displaystyle v=-\omega _{0}X_{max}sin(\omega _{0}t+\varphi )}$ . (Iegūstams atvasinot novirzi ${\displaystyle x=X_{max}\cdot cos(\omega _{0}t+\varphi )}$ ). Trajektorijas punktus, kuros ${\displaystyle v=0}$  un ${\displaystyle \left\vert x\right\vert =X_{max}}$ , sauc par pagrieziena punktiem. Vislielākais ātrums ir līdzsvara punktos.

Momentāno paātrinājumu iegūst pēc formulas: ${\displaystyle a=-\omega _{0}^{2}X_{max}cos\omega _{0}t}$ . (Iegūstams atvasinot ātrumu ${\displaystyle v=-\omega _{0}X_{max}sin(\omega _{0}t+\varphi )}$ ). Līdzsvara punktos ${\displaystyle a=0}$ . Vislielākā vērtība paātrinājumam ir pagrieziena punktos.

Ķermenim svārstoties, tam piemīt kinētiskā ${\displaystyle E_{k}}$  un potenciālā enerģija ${\displaystyle W}$ , pie kam harmoniskas svārstības ir noslēgta sistēma, kura saņem enerģiju no ārienes tikai sākummomentā pēc tam tā enerģiju no ārienes nesaņem un neatdod to citiem ķermeņiem, tādēļ pilnā mehāniskā enerģija ir konstanta ${\displaystyle E_{k}+W=const}$ .

Zinot ķermeņa momentāno ātrumu ${\displaystyle v}$ , ķermeņa kinētisko enerģiju ${\displaystyle E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}}$  var aprēķināt pēc ${\displaystyle E_{k}={\frac {mX_{max}^{2}sin^{2}\omega _{0}t}{2}}}$ . (Iegūstams ievietojot ${\displaystyle v=-\omega _{0}X_{max}sin(\omega _{0}t+\varphi )}$  izteiksmē). Pagrieziena punktos ${\displaystyle E_{k}=0}$ , bet līdzsvara punktā ${\displaystyle E_{k}}$  ir vislielākā.

Potenciālā enerģija ir atkarīga no atgriezējspēka. Atsperes svārstam atgriezējspēks ir ${\displaystyle F_{a}=-kx}$ , izmantojot sakarību atgriezējspēkam un potenciālajai enerģijai ${\displaystyle F_{a}=-{\frac {dW}{dx}}}$  un integrējot iegūst ${\displaystyle W={\frac {kx^{2}}{2}}}$ . Ievietojot ${\displaystyle x=X_{max}\cdot cos(\omega _{0}t+\varphi )}$ iegūst ${\displaystyle W={\frac {kX_{max}^{2}cos^{2}\omega _{0}t}{2}}}$ . Līdzsvara punktā ${\displaystyle W=0}$ , bet vislielākā pagrieziena punktos.

Matemātiskais svārsts

 

Matemātiskais svārsts ir idealizēts svārsts, kuru veido neizstiepjamā bezmasas diegā iekārts materiāls punkts. Šāda svārsta gadījumā

${\displaystyle a=-{\frac {g}{l}}s\ }$ , kur g — brīvās krišanas paātrinājums; l — diega garums; s — loka garums. Svārstību periods ${\displaystyle T}$  šādam svārstam:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$  pie maziem sākuma atvirzes leņķiem.

Ja leņķis ir liels, tad nepieciešams izmantot formulu, kura ņem vērā sākuma leņķi ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T&=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)\end{alignedat}}}$ 

Fizikālais svārsts

Neidealizētu svārstu sauc par fizisko svārstu, tas ir jebkurš ķermenis, kas nostiprināts iekarē un var svārstīties. Matemātiskā svārsta periods ir atkarīgs tikai no svārsta garuma, bet fiziskā svārsta periodu ietekmē ķermeņa inerces moments attiecībā pret rotācijas asi (ķermeņa masas izvietojums). Ja svārstību amplitūda ir neliela, šāda svārsta periods

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {J}{mgR}}}}$ ,

kur ${\displaystyle J}$  ir inerces moments, ${\displaystyle m}$  ir masa, ${\displaystyle R}$  ir masas centra attālums līdz rotācijas asij. Matemātiskais svārsts ir speciāls gadījums fizikālajam svārstam- inerces moments materiālam punktam ir ${\displaystyle J=mR^{2}}$ , to ievietojot perioda formulā: ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mR^{2}}{mgR}}}=2\pi {\sqrt {\frac {R}{g}}}}$ , kur ${\displaystyle R}$  ir attālums starp rotācijas punktu un masas punktu (diega garums).

 

Rimstošas svārstības

 

Rimstošas svārstības ir svārstības ar berzi. Berzes (pretestības) spēka ${\displaystyle F_{b}}$  dēļ svārstību amplitūda pakāpeniski samazinās. Parasti uzskata, ka berzes spēks ir proporcionāls ātrumam (${\displaystyle F_{b}\sim v}$ ), tad svārstību amplitūda samazinās eksponenciāli un svārstību formula ir

${\displaystyle x=X_{max}e^{-\gamma t}cos(\omega t)}$ , kur ${\displaystyle \gamma }$  ir rimšanas koeficients. Rimšanas koeficientam tiecoties uz nulli, ${\displaystyle \omega }$  tiecas uz ${\displaystyle \omega _{0}}$  (svārstības tiecas būt harmoniskas).

Izvedums

 

Atsperei kustības vienādojumu var pierakstīt šādi: ${\displaystyle ma=-kx-bv}$ , kur ${\displaystyle -bv}$  ir, piemēram, gaisa pretestība. To var uzrakstīt kā diferenciālvienādojumu ${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {k}{m}}x=0}$ . Tā kā pie maziem rimšanas koeficientiem ${\displaystyle \gamma }$  svārstības izskatās pēc eksponenciāli dilstoša kosinusoīda, iespējams minēt atrisinājumu kā ${\displaystyle x=X_{max}e^{-\gamma t}cos(\omega t)}$ . Ievietojot to diferenciālvienādojumā, minējums apstiprinās, ja

${\displaystyle \gamma ={\frac {b}{2m}}}$  un ${\displaystyle \omega ={\sqrt {{\frac {k}{m}}-{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}}}}$ . Pēc šīm formulām var novērot, ka, ja berzes koeficients ir ${\displaystyle b>{\sqrt {4mk}}}$ , tad kvadrātsakne ir negatīva, parādās imagināri skaitļi izteiksmē un svārstības nenotiek, tā vietā ķermenis lēnām nonāk līdzsvara stāvoklī. Ja notiek robežgadījums ${\displaystyle b={\sqrt {4mk}}}$ , tas atbilst kritiski slāpētām svārstībām, svārstības arī nenotiek un ķemenis visātrāk nonāk līdzsvara stāvoklī.

Citi lielumi rimstošām svārstībām

Laiku, kurā svārstību amplitūda samazinās e (naturāllogaritma bāze) reizes, sauc par oscilatora laika konstanti ${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\gamma }}}$ . No svārstību sākšanās momenta ${\displaystyle t_{0}}$  līdz momentam ${\displaystyle t=\tau }$  rimstošo svārstību sistēma izdara ${\displaystyle N={\frac {\tau }{T}}}$  pilnas svārstības. Skaitli ${\displaystyle Q=2\pi N}$  sauc par oscilatora labumu, kurš skaitliski vienāds ar oscilatorā uzkrātās pilnās enerģijas attiecību pret enerģiju, ko tas zaudē viena svārstību perioda laikā, tādējādi ${\displaystyle Q}$  raksturo svārstību sistēmas spēju saglabāt tajā uzkrāto enerģiju.

Ik pēc perioda svārstību amplitūda samazinās ${\displaystyle e^{\gamma T}}$  reizes, naturālo logaritmu no šī skaitļa sauc par logaritmisko dekrementu ${\displaystyle d=\ln e^{\gamma T}=\gamma T}$ .

Divu savstarpēji perpendikulāru harmonisku svārstību saskaitīšana

 

Ja ķermenis vienlaicīgi harmoniski svārstās plaknē x un y asu virzienos un tā līdzsvara punkts ir koordinātu sistēmas sākumpunkts, ķermeņa

koordinātas mainās pēc

${\displaystyle x(t)=X_{max}sin(\omega _{1}t+\varphi _{1})}$ , ${\displaystyle y(t)=Y_{max}sin(\omega _{2}t+\varphi _{2})}$ .

Saskaitot abus materiālā punkta pārvietojumus, iegūst rezultējošo ķermeņa kustību pa trajektoriju xy plaknē. Trajektorijas izskatu ietekmē abu svārstību amplitūdu un periodu (frekvenču) attiecības un kustības sākumfāžu starpība. Šīs trajektorijas sauc par Lisažū figūrām.

Ja ${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}}$  un

• ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$ , tad rezultējošā kustība ir harmoniskas svārstības pa taisnes nogriezni, kurš orientēts leņķī ${\displaystyle \alpha }$  pret x asi, ${\displaystyle tg\alpha ={\frac {Y_{max}}{X_{max}}}}$ ;
• sākumfāzes atšķiras par ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ , tad trajektorija ir elipse, kuras lielā pusass novietota horizontāli, ja ${\displaystyle X_{max}=Y_{max}}$ , elipse kļūst par riņķa līniju;
• sākumfāžu starpība atšķiras no 0, ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ , ${\displaystyle \pi }$ , ${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$ , tad trajektorija ir elipse, kuras lielā pusass ir slīpa pret x asi.

Ja ${\displaystyle \omega _{1}\neq \omega _{2}}$ , tad rezultējošā kustība nav periodiska un punkts atgriežas sākumstāvoklī tikai tad, ja abi periodi attiecas kā veseli skaitļi (1:2, 2:3 utt.), tad Lisažū figūras ir noslēgtas un komplicētas līknes.

Uzspiestās svārstības

 

Uzspiestās svārstības ir svārstības, ko ķermeņi veic ārējo spēku iedarbībā (tie var būt periodiski mainīgi). Šīs svārstības nenorimst, kamēr darbojas ārējais spēks, piemēram, šūpoļu iešūpināšana ar periodiskiem grūdieniem.

Uzspiesto svārstību amplitūda atkarīga no tā, kā kāda ir uzspiedējspēka frekvence ${\displaystyle \omega }$  salīdzinājumā ar brīva bezberzes oscilatora pašsvārstību frekvenci ${\displaystyle \omega _{0}}$ . Svārstību amplitūdu nosaka komplicētas likumsakarības, tačū, ja oscilatora berze ir maza (${\displaystyle \gamma \ll \omega _{0}}$ ), uzspiesto svārstību amplitūda savu vislielāko vērtību sasniedz tad, kad ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$ . Tā ir amplitūdas rezonanse — stacionārs svārstību režīms, kad uzspiedējspēka darbu katrā periodā kompensē berzes izraisītie zudumi.

Svārstības var iedalīt, izmantojot dažādas pazīmes.

 

Pēc fizikālās dabas izšķir šādas svārstības:

• mehāniskās, kad fizikāls ķermenis periodiski novirzās. Mehānisko svārstību piemēri ir šūpoles, stīgu instrumenti un kamertonis, atsperes svārsts, Vilberforsa svārsts, Fuko svārsts, dubultais svārsts, Helmholca rezonators, zemestrīces, zvaigžņu svārstības (helioseismoloģija, astroseismoloģija, griezes vibrācija, svārsta pulkstenis;
• elektriskās, to izpausme ir maiņstrāva, tās apraksta, izmantojot svārstību kontūru, elektriskās svārstības sastopamas tādās ierīcēs kā Ārmstronga oscilators, multivibrators, bloķējošais oscilators, Batlera oscilators, Klapa oscilators, Kolpica oscilators, aizkavēšanas līnijas oscilators, elektroniskais oscilators, paplašinātās mijiedarbības oscilators, Hārtlija oscilators, oscilistors, fāžu nobīdes oscilators, Pīrsa oscilators, relaksācijas oscilators, Rojera oscilators, Vačkara oscilators, Vina tilta oscilators;
• elektriski mehāniskās, piemēram, kvarca rezonatorā;
• optiskās — lāzers, Todas oscilators;
• bioloģiskās, starp kurām ir cirkādes ritms, cirkādes oscilators, Lotkas—Volteras vienādojumi, neirālās svārstības, svārstīgie gēni, segmentācijas pulkstenis;
• atsevišķi no bioloģiskajām svārstībām var izdalīt cilvēciskās — hormonu svārstības, piemēram, insulīna svārstības, pilotinducētās svārstības, balss (arī mehāniskās svārstības);
• saimnieciskās (ekonomiskās) un sabiedriskās (sociālās), kā ekonomiskie cikli, paaudžu atstarpe, maltusiānās norises sabiedrībā;
• klimatiskās un ģeofiziskās — Atlantijas desmitgažu svārstības, citu okeānu klimata svārstības, Čandlera svārstības, klimata svārstības;
• astrofiziskās, tostarp cikliskais modelis, neitronu zvaigznes svārstības;
• kvantu mehāniskās — kvantu harmoniskais oscilators (var arī attiecināt pie optiskajām svārstībām), neitrālo daļiņu svārstības;
• ķīmiskās, kas izpaužas kā Belousova—Žabotinska reakcija, dzīvsudraba pukstošā sirds, Brigsa—Raušera reakcija, Breja—Lībhafski reakcija;
• informātiskās — oscilators (šūnu automāts).

Pēc novirzes maiņas rakstura (pēc svārstību grafika formas) var tikt izšķirtas gadījuma, rimstošas, augošas, pēc amplitūdas modulētas, pēc frekvences modulētas un citas svārstības.

• Amplitūda
• Atsperes svārsts
• Brīvās harmoniskās svārstības
• Fizikālais svārsts
• Frekvence
• Matemātiskais svārsts
• Periods
• Svārstību raksturlielumi