Algebrinė Struktūra

Šiam straipsniui ar jo daliai reikia daugiau nuorodų į patikimus šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai įrašydami tinkamas išnašas ar nuorodas į patikimus šaltinius.

Algebrinės struktūros yra žymimos kortežais:

${\displaystyle (S,\ast ,\dots )}$  

kur ${\displaystyle S}$ yra aibė, ${\displaystyle \ast }$ yra kompozicijos dėsnis, kurio tiksli išraiška yra apibrėžiama kiekvienu konkrečiu atveju.

Grupoidas

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Grupoidas.

Grupoidas - tai aibė, kurioje yra apibrėžtas vienas uždaras kompozicijos dėsnis. Daugiau jokių sąlygų grupoidui nėra - net asociatyvumo sąlygos.

Pavyzdžiui, realiųjų skaičių aibė su atimties kompozicija

${\displaystyle (\mathbb {R} ,-)}$  

yra grupoidas, nes atimties operacija nėra asociatyvi:

${\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c)}$ , ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ . 

Pusgrupė

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Pusgrupė.

Pusgrupė - tai aibė, kurioje yra apibrėžtas uždaras asociatyvus kompozicijos dėsnis.

Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibė be nulio sudėties atžvilgiu

${\displaystyle (\mathbb {N} ^{+},+)}$  

yra pusgrupė, nes sudėties operacija yra asociatyvi:

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ , ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} ^{+}}$ , 

ir ši struktūra neturi neutralaus elemento.

Monoidas

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Monoidas.

Monoidas – pusgrupė, kurioje yra neutralusis elementas (vienetas) toks, kad:

${\displaystyle a+e=e+a=a}$ 

Čia ${\displaystyle e}$  yra neutralus elementas.

Grupė

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Grupė (algebra).

Grupė tai yra monoidas, kuriame kiekvienas elementas turi sau simetrinį elementą (atvirkštinį):

${\displaystyle a+a^{-1}=a^{-1}+a=e}$ 

Čia ${\displaystyle a^{-1}}$  elementas atvirkštinis ${\displaystyle a}$ .

Abelio grupė

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Abelio grupė.

Abelio grupė tai yra grupė, kurioje esantis kompozicijos dėsnis yra komutatyvus:

${\displaystyle a+b=b+a}$ 

Čia ${\displaystyle a,b}$  – aibės elementai.

Žiedas

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Žiedas (algebrinė struktūra).

Žiedas tai yra aibė su joje įvestais dviem kompozicijos dėsniais (${\displaystyle +,\cdot }$ ). Pirmojo kompozicijos dėsnio (${\displaystyle +}$ ) atžvilgiu žiedas yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio (${\displaystyle \cdot }$ ) atžvilgiu žiedas yra pusgrupė. Ir taip pat abiem kompozicijos dėsniams galioja distributyvumo taisyklė:

${\displaystyle (a+b)\cdot c=b\cdot c+a\cdot c}$ 

Čia ${\displaystyle a,b,c}$  aibės elementai.

Kūnas

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Kūnas (algebrinė struktūra).

Kūnas (angl. division ring) tai yra žiedas, kuris pirmojo kompozicijos dėsnio (${\displaystyle +}$ ) atžvilgiu yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio (${\displaystyle \cdot }$ ) atžvilgiu yra tiesiog grupė (nebūtina komutatyvumo sąlyga), kurioje atvirkštinis elementas apibrėžtas visiems aibės elementams, išskyrus „0 “– pirmojo kompozicijos dėsnio (${\displaystyle +}$ ) neutralųjį (vienetinį) elementą.

Laukas

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Laukas (algebrinė struktūra).

Laukas tai yra kūnas, kuriame antrasis kompozicijos dėsnis (${\displaystyle \cdot }$ ) yra komutatyvus. Arba kitas apibrėžimas, kad tai yra žiedas, kuriame abu kompozicijos dėsniai yra Abelio grupės.