Aequationes Lagrangi: Formula ad minima-maxima functionalis reperienda
Aequationes Lagrangi sunt aequationes quas physicus Iosephus Ludovicus Lagrange e Newtonianis motus legibus anno 1788 derivavit, ut hae leges facilius exsolvantur et generalizentur, eas vertendo in formam problematis minimam-maximam reperiendi.
Secundum leges Newtonianas, actuales particularum traiectoriae sunt speciales quia eae admussim praedici possunt. In calculo, omnia puncta specialia xi cuiusdam functionis f correspondent aut functionis maximo, aut minimo, aut punctis inflexionibus. Haec puncta obtinemus ponendo derivativum . Quamobrem Iosephus Lagrange hypothesim fecit analogam, functionale S quoddam existere cuius minimum respectu particularum traiectoriae accidat quando particularum traiectoriae leges Newtonianas sequuntur.
Functionale integraleS quam Lagrange exsistere ponit actio appellatum definitur
ubi L est functio Lagrangiana, denotant omnia systematis parametra sicut particularum coordinatas, et velocitates correspondentes. Et Lagrange posuit
,
qua aequationes Euleri-Lagrangi deduxit
Hae aequationes exactiter illis Newtonianis corrrespondent, si modo L = T - V ponamus, id est, si functio Lagrangiana ponatur aequalis differentiae inter energiam cineticam et energiam potentialem. Si tribus in dimensionibus singulam particulam arelativisticam energia V potentiali habeamus, functio Lagrangiana sua est
.
Deinde
et
ut possimus aequationes Euleri-Lagrangi scribere:
.
Hoc demonstrat aequivalentiam inter leges motus Newtonianas et aequationes Euleri-Lagrangi.
Causa
Hae aequationes excogitatae sunt eo consilio, ut possimus leges Newtonianas facilius in systematibus coordinatorum non Cartesianis applicare et generalizare.
Systema penduli lateri mobili affixi
Exempli gratia sphaeram consideremus, quae filo modo de latere mobile pendet, a methodo Lagrangiana descriptam. Pars suae Lagrangianae cinetica est
et pars potentialis est
ubi x est horizontalis lateris positio, m est sphaerae massa, M est lateris massa, L est fili longitudo, g est acceleratio libere cadendi et θ est fili angulum respecto lineae imaginariae quae de latere deorsum intendit.
Faciendo illas derivationes respecto x, obtinemus
quod monstrat constantem motus quandam. Respecto θ derivando obtinemus
;
ergo
.
Hae solutiones videntur complexae; sed sine aequationibus Lagrangianis, solum legibus Newtonianis utendo, illas solutiones obtinere difficilior fuerit, quod tunc subtilitate modo omnis vis forma vectorale meditanda est.
L. Landau and E. Lifshitz, Mechanics, 3rd ed. Butterworth-Heinmann, Oxford, 1976
John R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2003.
H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, 1980
This article uses material from the Wikipedia Latina article Aequationes Lagrangi, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Textus sub CC BY-SA 4.0 praebetur nisi aliter indicatus. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Latina (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.