오일러 피 함수

수론에서 오일러 파이 함수(-函數, 영어: Euler’s phi (totient) function)는 정수환의 몫환의 가역원을 세는 함수이다. 즉, n이 양의 정수일 때, ϕ(n)은 n과 서로소인 1부터 n까지의 정수의 개수와 같다. 예를 들어, 1부터 6까지의 정수 가운데 1, 5 둘만 6과 서로소이므로, ϕ(6) = 2이다. 1부터 10까지의 정수는 모두 11과 서로소이며, 11은 자기 자신과 서로소가 아니므로, ϕ(11) = 10이다. 1은 자기 자신과 서로소이므로, ϕ(1) = 1이다.

양의 정수 ${\displaystyle n}$ 의 오일러 파이 함수 ${\displaystyle \phi (n)}$ 은 정수환의 몫환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$ 의 가역원군의 원소 개수이다. 즉, 1부터 ${\displaystyle n}$ 까지의 정수 가운데 ${\displaystyle n}$ 과 서로소인 것들의 개수이다.

${\displaystyle \phi (n)=|(\mathbb {Z} /(n))^{\times }|=|\{k\in \{1,\dotsc ,n\}\colon \gcd\{n,k\}=1\}|}$ 

값

1부터 80까지의 정수의 오일러 파이 함수 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A000010)

항등식

오일러 파이 함수는 곱셈적 함수다. 즉, 만약 두 정수 ${\displaystyle m,n}$ 이 서로소라면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \phi (mn)=\phi (m)\phi (n)}$ 

오일러 파이 함수 값은 소인수를 통해 다음과 같이 구할 수 있다. 이를 오일러 곱 공식(영어: Euler product formula)이라고 한다.

${\displaystyle \phi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$ 

예를 들어, 20의 소인수는 2, 5이므로 ${\displaystyle \phi (20)}$ 은 다음과 같이 구할 수 있다.

${\displaystyle \phi (20)=20\left(1-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-{\frac {1}{5}}\right)=20\times {\frac {1}{2}}\times {\frac {4}{5}}=8}$ 

그리고, 소수 ${\displaystyle p}$ 의 거듭제곱 ${\displaystyle p^{k}}$ 의 오일러 파이 함수 값은

${\displaystyle \phi (p^{k})=p^{k-1}(p-1)}$ 

이다. 특히 소수 ${\displaystyle p}$ 의 경우

${\displaystyle \phi (p)=p-1}$ 

이다.

오일러 파이 함수를 통해 항등 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이는 레온하르트 오일러가 증명하였다.

${\displaystyle \sum _{d|n}\phi (d)=n}$ 

또한, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{d|n}d\mu (n/d)=\phi (n)}$ 

여기서 ${\displaystyle \mu }$ 는 뫼비우스 함수이다.

만약 양의 정수 ${\displaystyle a,n}$ 이 서로소라면, 다음과 같은 합동식이 성립한다. 이를 오일러의 정리라고 한다.

${\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$ 

오일러 피 함수는 수학의 다양한 분야에서 등장한다. 예를 들어, 군론에서는 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ 의 가능한 생성원(generator)의 수는 ${\displaystyle \phi (n)}$ 이다. 이는 ${\displaystyle n}$ 과 서로소인 임의의 수를 사용하여 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ 를 생성할 수 있기 때문이다.

또한, 정n각형이 작도 가능한 다각형인지, 즉 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는지는 ${\displaystyle \phi (n)}$ 이 2의 거듭제곱수인지와 동치이다. 즉,

n = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, …

이라면

${\displaystyle \phi (n)}$  = 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, …

이므로 정n각형을 작도할 수 있지만, 다른 값의 경우에는 작도할 수 없다. 특히, n이 소수인 경우를 페르마 소수라고 한다.

오일러 피 함수는 암호학의 RSA 암호에서도 핵심적인 역할을 한다.

• 페르마의 소정리
• 조르당 피 함수
• 카마이클 피 함수
• 토션트 합 함수

• “Totient function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Totient function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.