공적분

안정 상태의 시계열을 얻기 위해 필요한 차분 횟수를 적분 차수(Order of integration)이라고 하는데, 시계열의 적분 차수가 모두 d일때, 시계열의 선형 결합의 적분 차수가 d보다 작을 때 시계열 사이에 공적분 관계가 존재한다고 한다.

1926년 우드니 율이 허구적 회귀 문제라는 개념을 처음으로 도입하여 분석하였다. 1980년대 이전에는 경제학자가 주로 불안정적인 시계열 자료를 이용하여 선형 회귀 모형을 추정하였으나 클라이브 그레인저와 폴 뉴볼드가 이 경우 허구적 회귀 문제를 야기할 수 있다는 것을 보였다. 그레인저와 로버트 엥글의 1987년 논문에서 공적분 벡터를 통한 접근으로 공적분이라는 개념을 공식화하였다.

 

시계열 자료가 불안정적인 경우 두 시계열 변수 사이에 아무런 관계가 없다고 하더라도 산점도에서 볼 때는 상관관계가 있는 것처럼 나타날 수 있다. 오른쪽 그림의 두 시계열은 서로 아무런 관련성 없이 AR(1) 확률보행 과정을 통해 생성되었으나 산점도를 보면 양의 상관관계가 있는 것처럼 보인다. 오른쪽 그림의 두 시계열은 다음과 같은 방법으로 생성되었다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{t}&=&X_{t-1}+u_{t}.&u_{t}\sim N(0,10^{2})\\Y_{t}&=&Y_{t-1}+v_{t}.&v_{t}\sim N(0,10^{2})\end{matrix}}}$ 

두 시계열이 서로 아무런 관련성이 없는데도 회귀 모형을 추정하면 유의미한 관계가 있는 것처럼 나타나는 것을 허구적 회귀(spurious regression)이라 한다.^:447-448 확률보행 과정을 따르는 시계열 또는 적분된 시계열의 수준을 분석하는 경우에는 두 시계열이 아무런 관계가 없음에도 불구하고 통계적으로 유의하다는 결론을 낼 확률이 상당히 높게 나타나는 문제가 발생한다.

시계열을 ${\displaystyle d}$ 회 차분하여 안정 상태가 될 때 ${\displaystyle d}$ 를 적분 차수라고 하며, ${\displaystyle \operatorname {I} (d)}$ 라 표기한다. ${\displaystyle y_{t}\sim \operatorname {I} (1)}$ 이고 ${\displaystyle x_{t}\sim \operatorname {I} (1)}$ 이면 두 시계열의 선형 결합은 적분 차수가 1이 되는 게 일반적이지만, ${\displaystyle y_{t}-\beta x_{t}\sim \operatorname {I} (0)}$ 이 되는 특별한 예외가 존재하는데 이 경우 두 시계열이 공적분되었다고 한다.^:454

이를 일반화하여 시계열 변수를 모은 벡터를 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 라 할 때, ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 의 성분이 되는 모든 시계열 변수가 ${\displaystyle \operatorname {I} (d)}$ 이고, ${\displaystyle b>0}$ 에 대해 시계열 변수의 선형 결합 ${\displaystyle \mathbf {ax} \sim \operatorname {I} (d-b)}$ 일 때, ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 의 성분이 되는 시계열은 공적분되었다고 하며, 시계열을 공적분되게 하는 벡터 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 를 공적분 벡터라고 한다. 예를 들어 ${\displaystyle y_{t}\sim \operatorname {I} (1)}$ , ${\displaystyle x_{t}\sim \operatorname {I} (1)}$ 이고 ${\displaystyle y_{t}-\beta x_{t}\sim \operatorname {I} (0)}$ 이 될 때 두 시계열의 공적분 벡터는 ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}1&-\beta \end{bmatrix}}}$ 가 된다.

공적분 관계는 취객과 그의 개 사이의 목줄에 비유하여 설명하기도 한다.

공적분 관계를 검정할 때 다음 3가지 방법이 주로 사용된다.

Engle-Granger 2단계 방법

${\displaystyle x_{t}}$ 와 ${\displaystyle y_{t}}$ 가 불안정적이며 모두 ${\displaystyle \operatorname {I} (1)}$ 일 때 이 두 시계열의 선형 결합은 안정적이어야 한다.

${\displaystyle y_{t}-\beta x_{t}=u_{t}\,}$ 

위 식에서 ${\displaystyle u_{t}}$ 은 안정적이다.

만약 ${\displaystyle \beta }$ 를 알고 있다면 디키-풀러 검정, 필립스-페론 검정을 시행하여 안정성을 검정할 수 있다. 만약 ${\displaystyle \beta }$ 를 모를 때는 회귀식을 먼저 추정한 후 추정된 잔차 ${\displaystyle {\hat {u}}_{t}}$ 를 기반으로 안정성에 대한 검정을 시행한다.

두 번째 회귀식은 잔차의 차분 ${\displaystyle \Delta {\hat {u}}_{t}}$ 을 설명변수로 1기 전의 잔차 ${\displaystyle {\hat {u}}_{t-1}}$ 을 포함하여 추정하는 방법으로 검정을 시행한다.

요한센 검정

요한센 검정은 하나 이상의 공적분 관계가 존재하는 경우에 검정을 할 수 있는 방법이다. 그러나 이 검정은 점근적 성질을 가지고 있어 대표본에서 적합하다. 표본이 너무 적은 경우에는 검정 결과를 신뢰할 수 없으며 이 경우에는 ARDL 방법을 이용하여야 한다.

Phillips–Ouliaris 공적분 검정

Phillips와 Ouliaris (1990)는 잔차 기반 단위근 검정이 공적분되지 않는다는 귀무가설 하에 통상적인 디키-풀러 분포를 따르지 않는다는 것을 보였다. 귀무가설의 허구적 회귀 문제로 인해, 이 검정에서의 분포는 결정적 추세항과 공적분 관계를 검정한 변수의 수에 의존하는 점근적 분포를 따르게 된다. Phillips–Ouliaris 분포의 임계값이 따로 마련되어 있다.

• 정상 과정
• 허위 상관
• 오차수정모형