Ferromagnetismo

Questa proprietà si mantiene solo al di sotto di una certa temperatura, detta temperatura di Curie, al di sopra della quale il materiale si comporta come un materiale paramagnetico. Per il ferro, ad esempio, questa temperatura è di circa 770 °C.

Nei materiali ferromagnetici la permeabilità magnetica relativa del materiale non è costante al variare dei campi, come invece avviene nei materiali diamagnetici e nei materiali paramagnetici: la relazione tra il campo di induzione magnetica ed il campo magnetico non è quindi lineare, e nemmeno univoca. Il metodo di trovare le relazioni tra questi vettori è un metodo grafico e la legge seguita dall'andamento del campo magnetico segue il ciclo di isteresi. Sono materiali ferromagnetici il ferro, il cobalto, il nichel, numerosi metalli di transizione e le loro rispettive leghe.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Ciclo di isteresi.

 

I materiali ferromagnetici sono caratterizzati da un particolare andamento ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} (\mathbf {H} )}$  del campo magnetico in funzione del vettore di induzione magnetica. La relazione che li lega è scalare in un materiale isotropo, dal momento che in tal caso i campi assumono la medesima direzione (ma non necessariamente lo stesso verso). La rappresentazione grafica di tale funzione è detta ciclo di isteresi.

A partire dal momento in cui i campi sono nulli, e dunque è nulla la magnetizzazione del materiale, il campo magnetico aumenta seguendo la curva ${\displaystyle OH_{m}}$ , detta curva di prima magnetizzazione, fino al valore massimo di ${\displaystyle H_{m}}$  in cui ${\displaystyle \mathbf {B} }$  aumenta proporzionalmente a ${\displaystyle \mu _{0}\mathbf {H} }$ . In tali condizioni ${\displaystyle \mathbf {M} }$  raggiunge il suo valore massimo, detto valore di saturazione.

Diminuendo la corrente, diminuisce di conseguenza ${\displaystyle \mathbf {H} }$ , senza tuttavia ripercorrere la stessa curva, ma la curva ${\displaystyle H_{m}B_{r}}$ . Per ${\displaystyle \mathbf {H} =0}$  risulta quindi che il campo magnetico non ritorna ad avere un valore nullo, ma acquista un'intensità pari a ${\displaystyle |\mathbf {B} |=B_{r}>0}$ . Tale valore è detto magnetizzazione residua:

${\displaystyle M_{r}={\frac {B_{r}}{\mu _{0}}}}$ 

Il materiale mantiene quindi una proprietà magnetica anche senza la presenza di un campo magnetico esterno.

Invertendo la corrente, inoltre, ${\displaystyle \mathbf {H} }$  e ${\displaystyle \mathbf {M} }$  diventano negativi, e quando il campo magnetico è nullo si ha ${\displaystyle |\mathbf {H} |=-H_{c}}$ . Tale valore è detto campo coercitivo.

Infine, diminuendo ulteriormente ${\displaystyle \mathbf {H} }$ , anche ${\displaystyle \mathbf {B} }$  diventa negativo fino al valore ${\displaystyle -H_{m}}$  in cui di nuovo i campi sono proporzionali e la magnetizzazione arriva al minimo assoluto. Ricominciando ad aumentare ${\displaystyle \mathbf {H} }$ , si ha il ciclo chiuso.

La permeabilità magnetica in un dato punto della curva:

${\displaystyle \mu ={\frac {|\mathbf {B} |}{|\mathbf {H} |}}}$ 

è pertanto determinabile a partire dalla relazione fra i campi, specificando a quale curva del ciclo di isteresi appartiene. Tale grandezza dipende quindi dalla "storia" del materiale, e perde sostanzialmente di significato nella caratterizzazione del materiale. Ogni materiale ferromagnetico segue il ciclo di isteresi: per cicli che via via sono più stretti il ciclo di isteresi si restringe via via fino a ritornare a zero. Questo significa che è possibile "smagnetizzare" il materiale ferromagnetico e riportarlo alla condizione iniziale in cui ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} =\mathbf {M} =0}$ .

Materiali ferromagnetici cristallini e corrispondenti temperature di Curie in kelvin
Materiale	temp. Curie (K)
Co	1388
Fe	1043
FeOFe2O3*	858
NiOFe2O3*	858
CuOFe2O3*	728
MgOFe2O3*	713
MnBi	630
Ni	627
MnSb	587
MnOFe2O3*	573
Y3Fe5O12*	560
CrO2	386
MnAs	318
Gd	292
Dy	88
EuO	69

Il metodo descritto dal ciclo di isteresi è quello di misurare il campo di induzione magnetica ${\displaystyle \mathbf {B} }$  in funzione del campo magnetico ${\displaystyle \mathbf {H} }$ . Si consideri un anello di materiale ferromagnetico di sezione ${\displaystyle A}$  e raggio ${\displaystyle R}$  costanti, avvolto da ${\displaystyle N}$  spire percorse da corrente continua ${\displaystyle I}$ . In questa situazione i campi sono circolari entro l'anello e sono trascurabili al di fuori di esso. In questo modo si calcola il valore di ${\displaystyle \mathbf {H} }$  tramite il teorema di Ampere:

${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =N\ I}$ 

e, poiché l'anello è assimilabile ad una circonferenza, l'integrale risulta:

${\displaystyle H\cdot 2\pi R=N\ I}$ 

da cui:

${\displaystyle H={\frac {N\ I}{2\pi R}}}$ 

Nota la permeabilità magnetica relativa del materiale ${\displaystyle \mu _{r}}$ , è possibile calcolare il campo di induzione magnetica:

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{r}\ H=\mu \ H}$ 

Questo sistema è quello che si usa in pratica per misurare i due campi, al variare dell'intensità di corrente, dal momento che:

${\displaystyle H\cdot 2\pi R=N\ I}$ 

Una volta misurati ${\displaystyle \mathbf {H} }$  e ${\displaystyle \mathbf {B} }$  si può trovare il valore corrispondente di ${\displaystyle \mathbf {M} }$ :

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {M} }{\mu _{0}}}}$ 

Attraverso tale procedura è possibile ricavare sperimentalmente la curva di magnetizzazione, ovvero l'andamento del campo magnetico in funzione del vettore di induzione magnetica, e dunque il ciclo di isteresi.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Legge Curie-Weiss.

Pierre Curie fu il primo a scoprire che esiste una temperatura critica per ogni materiale ferromagnetico al di sopra della quale il materiale si comporta come paramagnetico. La suscettività magnetica segue la legge di Curie-Weiss:

${\displaystyle \chi _{m}={\frac {C\ \rho }{T-T_{c}}}}$ 

dove ${\displaystyle C}$  è una costante caratteristica del materiale, ${\displaystyle \rho }$  è la densità e ${\displaystyle T_{c}}$  la temperatura di Curie in kelvin.

Il ferromagnetismo rappresenta uno dei principali problemi aperti della fisica dello stato solido, anche se esistono essenzialmente due modelli teorici che riescono a descriverlo: il modello di Ising e il modello di Weiss, basati entrambi sull'Hamiltoniana di Heisenberg, che tuttavia utilizzano grosse approssimazioni.

Hamiltoniana di Heisenberg

L'Hamiltoniana per una coppia di elettroni appartenenti ad atomi vicini è:

${\displaystyle H=H_{1}+H_{2}+V_{12}\ }$ 

dove ${\displaystyle H_{1}}$  e ${\displaystyle H_{2}}$  sono le hamiltoniane dei singoli elettroni, e ${\displaystyle V_{12}}$  l'interazione fra i due.
Per il Principio di Pauli, la funzione d'onda complessiva deve essere antisimmetrica, e quindi vi sono due possibilità:

${\displaystyle \varphi _{A}=\psi _{S}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\chi _{A}(\mathbf {\sigma } _{1},\mathbf {\sigma } _{2})}$ 

oppure

${\displaystyle \varphi _{A}=\psi _{A}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\chi _{S}(\mathbf {\sigma } _{1},\mathbf {\sigma } _{2})}$ 

dove il pedice ${\displaystyle A}$  o ${\displaystyle S}$  sta ad indicare una funzione antisimmetrica/simmetrica, ${\displaystyle \psi }$  indica le funzioni d'onda spaziali e ${\displaystyle \chi }$  indica le funzioni d'onda di spin.

Le funzioni d'onda di spin per una coppia di elettroni sono:

${\displaystyle \chi _{S}:\left\{{\begin{matrix}|++\rangle \qquad [\mathbf {s} _{z}=1]\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )\quad [\mathbf {s} _{z}=0]\\|--\rangle \qquad [\mathbf {s} _{z}=-1]\\\end{matrix}}\right.}$ 
${\displaystyle \chi _{A}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle -|-+\rangle )\quad [\mathbf {s} _{z}=0]}$ 

Le funzioni d'onda spaziali sono:

${\displaystyle \psi _{S}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})+\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1}))}$ 
${\displaystyle \psi _{A}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})-\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1}))}$ 

Effettuando il calcolo perturbativo su queste funzioni d'onda si ottiene:

${\displaystyle E=\left\{{\begin{matrix}E_{0}+J\quad \rightarrow \quad \varphi _{1}=\psi _{S}\chi _{A}\\E_{0}-J\quad \rightarrow \quad \varphi _{2}=\psi _{A}\chi _{S}\\\end{matrix}}\right.}$ 

Dove ${\displaystyle J}$  è l'integrale di scambio. L'hamiltoniana separa quindi gli stati con spin diverso, e per questo motivo Werner Karl Heisenberg trovò un operatore che distinguesse gli stati con spin diverso e che potesse quindi descrivere la precedente interazione. Tale operatore è:

${\displaystyle \mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}=\left\{{\begin{matrix}-{\frac {3}{4}}\quad \rightarrow \varphi _{1}\\{\frac {1}{4}}\quad \rightarrow \varphi _{2}\\\end{matrix}}\right.}$ 

Da cui l'Hamiltoniana di Heisenberg:

${\displaystyle H_{Heisenberg}=-2J\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}}$ 

Modello di Weiss

Il modello di Weiss propone di generalizzare la hamiltoniana di Heisenberg per un sistema con più elettroni utilizzando una approssimazione di campo medio: un elettrone risente di un'interazione dovuta alla media del campo generato dagli altri elettroni.

L'hamiltoniana del sistema diventa quindi:

${\displaystyle H_{magn}=g_{0}\mu _{B}\mathbf {s} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {B} -\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {s} (\mathbf {r} )\mathbf {s} (\mathbf {r} ')=s(\mathbf {r} )\cdot \langle g_{0}\mu _{B}\mathbf {B} -\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {s} (\mathbf {r} ')\rangle =}$ 
${\displaystyle =s(\mathbf {r} )g_{0}\mu _{B}\left(\mathbf {B} -{\frac {1}{g_{0}\mu _{B}}}\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {\langle } s(\mathbf {r} ')\rangle \right)}$ 

dove si è posto ${\displaystyle g_{0},\mu _{B}}$  rispettivamente il fattore giromagnetico e il magnetone di Bohr.

Sostituendo il momento magnetico:

${\displaystyle \mathbf {m} =-g_{0}\mu _{B}\mathbf {s} }$ 

ed il vettore magnetizzazione:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {N}{V}}\langle \mathbf {m} \rangle }$ 

si ha:

${\displaystyle H_{magn}=-\mathbf {m} (\mathbf {r} )\left(\mathbf {B} +\sum _{\mathbf {r} '}{\frac {J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{(g_{0}\mu _{B})^{2}}}{\frac {V}{N}}\mathbf {M} \right)}$ 

Quindi, in definitiva:

${\displaystyle H_{magn}=-\mathbf {m} (\mathbf {r} )(\mathbf {B} +\lambda \mathbf {M} )}$ 

Si nota l'analogia con il paramagnetismo di Langevin, in cui si fa lo stesso studio a patto di sostituire il campo magnetico con un campo magnetico efficace dato da:

${\displaystyle \mathbf {B} +\lambda \mathbf {M} }$ 

Esiste quindi una temperatura critica di Curie:

${\displaystyle T_{C}={\frac {J_{0}s(s+1)}{3k}}}$ 

al di sotto della quale si manifestano gli effetti del ferromagnetismo. Le quantità ${\displaystyle s}$  e ${\displaystyle k}$  sono l'autovalore dello spin e la costante di Boltzmann, mentre ${\displaystyle J_{0}}$  è dato da:

${\displaystyle \sum _{\mathbf {r} '}{\frac {J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{(g_{0}\mu _{B})^{2}}}}$ 

• Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
• Jerry D. Wilson, Antony J. Buffa, Fisica 3, Milano, Principato, 2000, ISBN 88-416-5803-7
• Paride Nobel, Fenomeni fisici, Napoli, Editrice Ferraro, 1994 ISBN 88-7271-126-6
• K. H. J. Buschow, Encyclopedia of materials : science and technology, Elsevier, 2001, ISBN 0-08-043152-6.
• Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, sixth, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-87474-4.
• Ramon Pallàs-Areny e John G Webster, Sensors and Signal Conditioning, 2nd, John Wiley & Sons, 2001, pp. 262–263, ISBN 978-0-471-33232-9.
• Nicola A. Spaldin, Magnetic materials : fundamentals and applications, 2nd, Cambridge, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-88669-7.
• Harald Ibach e Hans Lüth, Solid-state physics : an introduction to principles of materials science, 4th extensively updated and enlarged, Berlin, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-93803-3.
• Robert A Levy, Principles of Solid State Physics, Academic Press, 1968, ISBN 978-0-12-445750-8.
• H.Y Fan, Elements of Solid State Physics, Wiley-Interscience, 1987, ISBN 978-0-471-85987-1.
• Adrianus J Dekker, Solid State Physics, Macmillan, 1958, ISBN 978-0-333-10623-5.
• N Cusack, The Electrical and Magnetic Properties of Solids, Longmans, Green, 1958.
• J.R. Hook, H.E. Hall, Solid state physics, 2nd, Chichester, Wiley, 1994, ISBN 0-471-92805-4.
• André Guinier ; Rémi Jullien, The solid state from superconductors to superalloys, Pbk., Oxford, Oxford Univ. Press, 1989, ISBN 0-19-855554-7.
• K. Mendelssohn, The quest for absolute zero : the meaning of low temperature physics, with S.I. units., 2nd, London, Taylor and Francis, 1977, ISBN 0-85066-119-6.
• H.P. Myers, Introductory solid state physics., 2nd ed., London, Taylor & Francis, 1997, ISBN 0-7484-0660-3.
• Charles Kittel, Introduction to solid state physics, 7. ed., New York [u.a.], Wiley, 1996, ISBN 0-471-11181-3.
• John Palmer, Planar Ising correlations, [Online-Ausg.]., Boston, Birkhäuser, 2007, ISBN 978-0-8176-4620-2.
• Dalía S Bertoldi, Bringa, Eduardo M; Miranda, E N, Analytical solution of the mean field Ising model for finite systems, in Journal of Physics: Condensed Matter, vol. 24, n. 22, 6 giugno 2012, p. 226004, Bibcode:2012JPCM...24v6004B, DOI:10.1088/0953-8984/24/22/226004. URL consultato il 12 febbraio 2013.
• Robert Brout, Phase Transitions, New York, Amsterdam, W.A.Benjamin.INC, 1965.
• C. Rau, Jin, C.; Robert, M., Ferromagnetic order at Tb surfaces above the bulk Curie temperature, in Journal of Applied Physics, vol. 63, n. 8, 1º gennaio 1988, p. 3667, Bibcode:1988JAP....63.3667R, DOI:10.1063/1.340679. URL consultato il 19 febbraio 2013.
• R. Skomski, Sellmyer, D. J., Curie temperature of multiphase nanostructures, in Journal of Applied Physics, vol. 87, n. 9, 1º gennaio 2000, p. 4756, Bibcode:2000JAP....87.4756S, DOI:10.1063/1.373149. URL consultato il 19 febbraio 2013.
• Victor Lopez-Dominguez, Hernàndez, Joan Manel; Tejada, Javier; Ziolo, Ronald F., Colossal Reduction in Curie Temperature Due to Finite-Size Effects in CoFe O Nanoparticles, in Chemistry of Materials, vol. 25, n. 1, 8 gennaio 2013, pp. 6-11, DOI:10.1021/cm301927z. URL consultato il 19 febbraio 2013.
• S. K. Bose, Kudrnovský, J.; Drchal, V.; Turek, I., Pressure dependence of Curie temperature and resistivity in complex Heusler alloys, in Physical Review B, vol. 84, n. 17, 29 novembre 2011, Bibcode:2011PhRvB..84q4422B, DOI:10.1103/PhysRevB.84.174422, arXiv:1010.3025. URL consultato il 20 gennaio 2013.
• John G. Webster, The measurement, instrumentation, and sensors handbook, [Online-Ausg.], Boca Raton, Fla., CRC Press published in cooperation with IEEE Press, 1999, ISBN 0-8493-8347-1.
• Attay Kovetz, The principles of electromagnetic theory., 1st published., Cambridge [England], Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-39997-1.
• Rolf E. Hummel, Electronic properties of materials, 3. ed., New York [u.a.], Springer, 2001, ISBN 0-387-95144-X.
• K.J. Pascoe, Properties of materials for electrical engineers., New York, N.Y., J. Wiley and Sons, 1973, ISBN 0-471-66911-3.
• Paulsen, Jason A. Lo, Chester C H; Snyder, John E.; Ring, A. P.; Jones, L. L.; Jiles, David C. Jones, Study of the Curie temperature of cobalt ferrite based composites for stress sensor applications, 39 , Issue: 5, settembre 2003, pp. 3316-3318.
• Hae Jin Hwang, Nagai, Toru; Ohji, Tatsuki; Sando, Mutsuo; Toriyama, Motohiro; Niihara, Koichi, Curie Temperature Anomaly in Lead Zirconate Titanate/Silver Composites, in Journal of the American Ceramic Society, vol. 81, n. 3, 21 gennaio 2005, pp. 709-712, DOI:10.1111/j.1151-2916.1998.tb02394.x. URL consultato il 12 marzo 2013.
• Aymeric Sadoc, Mercey, Bernard; Simon, Charles; Grebille, Dominique; Prellier, Wilfrid; Lepetit, Marie-Bernadette, Large Increase of the Curie Temperature by Orbital Ordering Control, in Physical Review Letters, vol. 104, n. 4, 16 novembre 2009, Bibcode:2010PhRvL.104d6804S, DOI:10.1103/PhysRevLett.104.046804, arXiv:0910.3393. URL consultato il 19 febbraio 2013.
• Pierre Curie - Biography, su Nobelprize.org, From Nobel Lectures, Physics 1901-1921, Elsevier Publishing Company, Amsterdam, 1967, The Nobel Foundation 1903. URL consultato il 14 marzo 2013.

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• ferromagnetismo, su sapere.it, De Agostini.  
• (EN) ferromagnetism / ferromagnetic domain, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• R. Raimondi Un'introduzione al magnetismo (Roma 3)
• (EN) IUPAC Gold Book, "magnetic transition", su goldbook.iupac.org.
• (EN) Ferromagnetism Hyperphysics (Georgia State University)
• (EN) David Bowler Ferromagnetism (University College of London)
• (EN) Dissemination of IT for the Promotion of Materials Science (DoITPoMS), "Ferromagnetic Materials", su doitpoms.ac.uk.

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