Diagonale

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Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, in particolare sono tutte interne se la figura è convessa.

Per sapere quante diagonali partono da un vertice di un poligono di ${\displaystyle n>2}$ vertici si contano tutti i vertici tranne il vertice considerato e i due consecutivi ad esso, in quanto i segmenti ottenuti costituirebbero due lati (e quindi non sarebbero "diagonali" secondo la definizione sopra riportata), quindi si hanno ${\displaystyle n-3}$ diagonali.

Il numero totale delle diagonali di un poligono di ${\displaystyle n>2}$ vertici è dato dalla formula

${\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}}$

Dimostrazione 1

 

Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l'insieme degli ${\displaystyle n}$  punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti ${\displaystyle n-1}$  (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale ${\displaystyle n-1}$  diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento:

da ${\displaystyle A_{1}}$  partono ${\displaystyle n-1}$  diagonali;
da ${\displaystyle A_{2}}$  partono ${\displaystyle n-2}$  diagonali (si toglie quella proveniente da ${\displaystyle A_{1}}$ );
da ${\displaystyle A_{3}}$  partono ${\displaystyle n-3}$  diagonali (si tolgono quelle provenienti da ${\displaystyle A_{1}}$  e ${\displaystyle A_{2}}$ );
...
da ${\displaystyle A_{n}}$  partono ${\displaystyle n-n=0}$  diagonali (ogni punto è già congiunto da una propria diagonale).

Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica

${\displaystyle 0+1+2+...+(n-1)={\frac {n(n-1)}{2}},}$ 

da cui però bisogna togliere gli ${\displaystyle n}$  lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi

${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-3)}{2}}.}$ 

Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.

Dimostrazione 2

Iniziamo dicendo che per formare una diagonale occorrono due vertici. Inoltre il segmento ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{4}}}}$  e il segmento ${\displaystyle {\overline {A_{4}A_{1}}}}$  rappresentano la stessa diagonale, quindi l'ordine con cui si prendono i vertici non è importante. Si tratta allora di contare quante configurazioni ordinate posso formare con ${\displaystyle n}$  oggetti presi 2 alla volta. Per contare queste configurazioni ci viene in aiuto il calcolo combinatorio, infatti le configurazioni possibili sono le combinazioni semplici di ${\displaystyle n}$  oggetti di classe 2

${\displaystyle C_{n,2}={n \choose 2}={\frac {n!}{2!(n-2)!}}={\frac {n(n-1)}{2}}.}$ 

A queste configurazioni vanno poi tolte quelle ottenute prendendo due vertici consecutivi, quindi il numero ${\displaystyle n}$  dei vertici del poligono

${\displaystyle d={\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-1)-2n}{2}},}$ 

da cui ${\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}.}$ 

 

Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:

Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado. Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni

${\displaystyle {\begin{cases}an_{1}^{2}+bn_{1}+c=d_{1}\\an_{2}^{2}+bn_{2}+c=d_{2}\\an_{3}^{2}+bn_{3}+c=d_{3}\end{cases}}}$ 

dove ${\displaystyle n_{i}}$  è il numero dei lati e ${\displaystyle d_{i}}$  è il numero delle diagonali corrispondenti. Poiché sia ${\displaystyle n_{i}}$  che ${\displaystyle d_{i}}$  sono noti (almeno per un numero finito di casi), le incognite sono ${\displaystyle a,b,c}$ . Sostituendo, ad esempio, ${\displaystyle n_{1}=3,n_{2}=4,n_{3}=5}$  e i corrispondenti valori di ${\displaystyle d_{i}}$  si ha

${\displaystyle {\begin{cases}9a+3b+c=0\\16a+4b+c=2\\25a+5b+c=5\end{cases}}}$ 

e risolvendo il sistema si ottiene ${\displaystyle a={\frac {1}{2}},b=-{\frac {3}{2}},c=0}$ .

Quindi la formula risolutiva è ${\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}}$  che sul piano cartesiano assume la forma della conica ${\displaystyle x^{2}-3x-2y=0}$  con ${\displaystyle x=n}$  e ${\displaystyle y=d}$ .

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