Complemento A Due: Metodo più diffuso per la rappresentazione dei numeri con segno in informatica

L'espressione complemento a due viene spesso usata impropriamente per indicare l'operazione di negazione (cambiamento di segno) nei computer che usano questo metodo. La sua enorme diffusione è data dal fatto che i circuiti di addizione e sottrazione non devono esaminare il segno di un numero rappresentato con questo sistema per determinare quale delle due operazioni sia necessaria, permettendo tecnologie più semplici e con maggiore precisione; si utilizza un solo circuito, il sommatore, sia per l'addizione che per la sottrazione.

Col complemento a due, il bit più significativo del numero ha peso negativo o positivo; da questo deriva che tutti i numeri che cominciano con un "1" sono numeri binari negativi, mentre tutti i numeri che cominciano con uno "0" sono numeri binari positivi.

Un numero binario positivo si può rendere negativo invertendone i bit e sommando 1 al valore risultante. Ciò è matematicamente giustificabile se osserviamo come si comporta la somma di un numero binario e del suo inverso: il risultato è una sequenza ${\textstyle 111...111{_{2}}}$, che in complemento a 2 rappresenta -1. In simboli:

$${\displaystyle x+{\overline {x}}=-1\Rightarrow x+{\overline {x}}+1=0\Rightarrow {\overline {x}}+1=-x}$$

Allo stesso modo si può ottenere il valore assoluto di un numero binario negativo, ossia prendendo il complementare (invertendo il valore dei singoli bit) e aggiungendo 1 al numero binario risultante.

Un numero binario di n cifre può rappresentare con questo metodo i numeri compresi fra ${\textstyle -2^{(n-1)}}$ e ${\textstyle +2^{(n-1)}-1}$.

Ad esempio, un numero binario di 8 cifre può rappresentare i numeri compresi tra -128 e +127.

Questo metodo consente di avere un'unica rappresentazione dello zero (quando tutti i bit sono zero, eliminando così la ridondanza dello zero che si verifica con la rappresentazione in modulo e segno), e di operare efficientemente addizione e sottrazione sempre avendo il primo bit a indicare il segno.

Infatti se il bit più significativo (il primo) è uguale a 1, il numero in complemento a due sarà negativo, mentre se questo è uguale a zero il numero sarà positivo, ecco un esempio:

01101100 (108) 10010100 (-108)

Questo metodo di rappresentazione ha notevoli vantaggi, soprattutto per effettuare somme e differenze. Il complemento a due supera infatti gli svantaggi della rappresentazione a modulo e segno soprattutto in termini di complessità realizzativa dei circuiti sommatori.

Come è possibile notare, in complemento a due, il primo bit diventa automaticamente il bit del segno (come per la rappresentazione a modulo e segno), risolvendo però il problema dell'ambiguità dello 0 (in complemento a 2, 00000 e 10000 hanno significati diversi) e vengono enormemente facilitate le operazioni di somma e differenza, che si riducono alla sola operazione di somma: per comprendere meglio è sufficiente un esempio:

${\displaystyle 5_{10}-10_{10}=5_{10}+(-10)_{10}=0101_{2}-1010_{2}=00101_{CA2}+10110_{CA2}=11011_{CA2}=-0101_{2}=-5_{10}}$ 

Per rappresentare l'opposto di un numero binario in complemento se ne invertono, o negano, i singoli bit: si applica cioè l'operazione logica NOT. Si aggiunge infine 1 al valore del numero trovato con questa operazione.

Ad esempio per rappresentare il numero -5 usando 8 bit in complemento a 2 il procedimento è il seguente:

Si parte dalla rappresentazione in binario del numero 5:

0000 0101 (5) 

La prima cifra è 0, quindi il numero è sicuramente positivo. Si invertono tutti i bit: 0 diventa 1, e 1 diventa 0:

1111 1010 

A questo punto si è ottenuto il complemento a uno del numero 5; per ottenere il complemento a due bisogna sommare 1 a questo numero:

1111 1010 + 0000 0001 = 1111 1011 (-5) 

Il risultato è un numero binario con segno che rappresenta il numero negativo -5 secondo il complemento a due. Il primo bit, avendo valore 1, evidenzia che il numero è negativo.

Il complemento a due di un numero negativo ne restituisce il numero positivo pari al valore assoluto: invertendo i bit della rappresentazione del numero -5 (sopra) si ottiene infatti:

0000 0100 

Sommando 1 il risultato è:

0000 0100 + 0000 0001 = 0000 0101 (+5) 

che è appunto la rappresentazione del numero +5 in forma binaria.

Si noti che il complemento a due dello zero è zero stesso: invertendone la rappresentazione si ottiene un byte di 8 bit pari a tutti 1, e aggiungendo 1 si ritorna a tutti 0 (l'overflow viene ignorato).

Operare l'addizione di due interi rappresentati con questo metodo non richiede processi speciali se essi sono di segno opposto, e il segno viene determinato automaticamente. Facciamo un esempio addizionando 15 e -5:

11111 1110 (riporto)  0000 1111 (15) + 1111 1011 (-5) -----------  0000 1010 (10) 

Questo processo gioca sulla lunghezza fissa di 8 bit della rappresentazione: viene ignorato un riporto di 1 che causerebbe un overflow, e rimane il risultato corretto dell'operazione (10).

Gli ultimi due bit (da destra a sinistra), ovvero i più significativi, della riga dei riporti contengono importanti informazioni sulla validità dell'operazione: se il risultato è compreso o non è compreso nell'intervallo dei numeri rappresentabili. Si verifica se il riporto è stato eseguito sul bit del segno ma non è stato portato fuori, o viceversa; più semplicemente, se i due bit più a sinistra sulla riga dei riporti non sono entrambi 0 o 1. Per verificare la validità del risultato è conveniente eseguire su questi due bit un'operazione XOR. Vediamo un esempio di addizione a 4 bit di 7 e 3:

01110 (riporto)  0111 (7) + 0011 (3) -------------  1010 (-6) 

In questo caso, come si può notare dal riporto presente solo sul bit più significativo, si è in presenza di overflow, per cui il risultato non è 10 (come sarebbe corretto) ma -6, infatti il massimo numero positivo rappresentabile in complemento a due su quattro bit è 7 (con n=4: 2^n-1 - 1 = 7).

Anche se la sottrazione potrebbe essere eseguita aggiungendo il complemento a due del sottraendo al minuendo, questo procedimento è poco utilizzato in quanto porta più complicazioni che semplicemente costruire un circuito per la sottrazione. Ma come per l'addizione, il vantaggio del complemento a due è l'eliminazione della necessità di esaminare i segni degli operandi per determinare quale operazione sia necessaria. Per esempio, sottrarre -5 a 15 è come aggiungere 5 a 15, ma questo è nascosto dal complemento a due:

 1111 0000 (riporto)  0000 1111 (15) − 1111 1011 (−5) -----------  0001 0100 (20) 

L'overflow viene individuato con lo stesso metodo usato per l'addizione, esaminando i due bit più a sinistra sulla riga dei riporti: se sono differenti si è verificato un overflow.

Facciamo un altro esempio con una sottrazione con risultato negativo: 15 − 35 = −20:

 1110 0000 (riporto)  0000 1111 (15) − 0010 0011 (35) -----------  1110 1100 (−20) 

A parte una singola eccezione, cercando il complemento a due di ogni numero rappresentato con questo metodo, otteniamo il suo opposto: 5 diventa -5, 12 diventa -12, ecc.

Il minor numero rappresentabile (cioè quello negativo con maggior valore assoluto) costituisce l'unica eccezione: vediamo l'esempio del numero -128 nella rappresentazione a 8 bit:

1000 0000 (−128) 0111 1111 (bit invertiti) 1000 0000 (aggiunto 1) 

Questo perché 127 è il maggior numero con segno rappresentabile con 7 bit. Si noti che viene segnalato un overflow perché c'è un riporto sul bit del segno ma non fuori di esso.

Nonostante questo sia un numero unico, la sua rappresentazione è valida. Tutte le operazioni possono funzionare con esso sia come operando che come risultato (a meno che non sia successo un overflow).

I 2ⁿ possibili valori degli n bit che vanno a costituire la rappresentazione di un numero intero in forma binaria formano un anello di classi di equivalenza, ovvero gli interi (modulo 2ⁿ). Ciascuna classe rappresenta un insieme {j + k·2ⁿ | k è un intero} per ogni intero j, 0 ≤ j ≤ 2ⁿ − 1. Esistono 2ⁿ insiemi del genere, e l'addizione e la moltiplicazione sono ben definite all'interno di essi.

Se le classi sono impiegate per rappresentare i numeri tra 0 e 2ⁿ − 1, e l'overflow viene ignorato, si ha un insieme di interi senza segno; ma ognuno di essi è equivalente a sé stesso meno 2ⁿ. Quindi le classi possono essere intese come la rappresentazione dei numeri tra −2ⁿ⁻¹ e 2ⁿ⁻¹ − 1, sottraendo 2ⁿ dalla metà di essi.

Per semplicità: con 8 bit si possono rappresentare i numeri interi da 0 a 255. Sottraendo 256 alla metà superiore (da 128 a 255) si ottengono i numeri da -128 a -1, e l'insieme totale comprende ora i numeri da -128 a 127, con segno.

La relazione col complemento a due è resa evidente dal fatto che 256 = 255 + 1, e che 255 - x è il complemento a uno di x.

Esempio

-95 modulo 256 equivale a 161, dal momento che:

−95 + 256
= −95 + 255 + 1
= 255 − 95 + 1
= 160 + 1
= 161

 1111 1111            255  − 0101 1111           − 95   -----------           -----  1010 0000 (complemento a uno)  160 +     1           +  1 -----------           -----  1010 0001 (complemento a due)  161 

• David A. Patterson, John L. Hennessy e Perry Alexander, Computer organization and design: the hardware/software interface, 5. ed, Elsevier Morgan Kaufmann, 2014, ISBN 978-0-12-407726-3.

• Algoritmo di Booth
• Grandezza e segno
• Complemento a uno
• Eccesso N

• complemento a due, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Complemento a due, in Free On-line Dictionary of Computing, Denis Howe. Disponibile con licenza GFDL

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